Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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-— 2 25 25 2 5-~
AB2 - BC9 (AB BC) (AB + - BC) - 9 C,
2 2 -- 2
-BCB C
AB-5 BC = 9
AB + - BC 3 BC + (AB — B C)
3 3 3
Wird wieder AB = BC. /3, BC -1 gesetzt, so haben wir
nunmehr
2
3 Z 3 + — 2
10 9
3 10
3
Und dieser Kettenbruch führt allerdings sehr rasch zu den archime^P, ö P 2 6 -P3 265
dischen Zahlen; es ist P, _ 7 26 3 53_ 265
Q1 3'Q3 15' Q3153
Wollte man, mit Verlassung des schönen geometrischen Bildes, dessen
sich Heilermann bedient, die letzterwähnte Kettenbruchentwickelung rein
algebraisch darstellen, so würde so zu verfahren sein. Man suche, um /A
durch einen rasch convergirenden eingliedrig-periodischen Kettenbruch auszudrücken, jene Quadratzahl m, welche durch die, Ungleichung
mn2 < A3 < (m + 1)2
bestimmt ist, und setze alsdann
A\/A l/23 /2n A3 n 2
Unter diesen Umständen liefert die gewöhnliche Entwickelung
-A3 - mA2 -
2 ÄA A- m2
inA + A2 A3 A3 m
2 A2A
AA 2r3
2mn
A
Beide Heilermann'sche Kettenbrüche entspringen dieser allgemeinen
Regel. Für A = 2 ist m-= 2, somit
4 1
2 4 2 + --
2 +..
2 4
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Abh. zur Gesch. der Mathein. IV. 7