Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

G1. 53.] II. ~ 23. Bahntypen. 81
Grösser kann r in dieser Bahn nicht werden. Die Bahn
muss sich daher nach dem Aphel in einem Zweige fortsetzen, der wieder zum Perihel zurückkehrt und wegen des
gleichen Baues der Differentialgleichung mit dem vor dem
Aphel liegenden Theil congruent ist. Dasselbe gilt von jedem
Perihel.
In dem angenommenen Falle, dass ro keine doppelte
Wurzel der Gleichung 53) ist, kann r nur eine sehr kurze
Zeit hindurch sehr nahe gleich ro sein, der auch wegen des
Flächensatzes nur eine sehr kleine Aenderung von a entspricht. Dies lehrt die in bekannter Weise auszuführende
Discussion der Differentialgleichung für den Fall, dass r
nahe gleich ro ist. Ich führe hier diese Discussion nur beiläufig aus. Sei r zur Zeit to gleich ro, was eine steigende einfache Wurzel der Gleichung 53) sei. Zur Zeit to + r aber
sei r = ro + 9. Setzt man /pi'(r) = 2 a, so reducirt sich
die erste der Differentialgleichungen 50) für kleine 9 auf
dt (r + ) 2a,
woraus folgt ( = a2 2. So lange 9 sehr klein ist, wird also
immer r während einer sehr kurzen Zeit von ro bis ro + Q
wachsen. Dasselbe gilt auch für eine sehr kleine Abnahme
des 9 im Aphel.
Da nach dem Flächensatze dt9,/dt sein Zeichen nicht
wechselt und nur in unendlicher Entfernung Null werden
kann, so kann die Tangente zur Bahn niemals durch den
Coordinatenursprung O gehen. Das Bewegliche muss vielmehr den Punkt 0 immer im einen oder anderen Sinne
umkreisen. Wir erhalten daher stets geschlossene oder
ungeschlossene Bahnen von dem Typus der Figuren 10
bis 13, von denen ellipsenartige Bahnen ein specieller Fall
sind, wobei zu bemerken ist, dass der Krümmungshalbmesser der Bahn unendlich wird, wo f(r) 0 ist, dagegen ist die Bahn nach derjenigen Seite der Tangente,
auf welcher O liegt, concav oder convex, wenn f(r) negativ
oder positiv ist. Man sieht dies ein, wenn man f(r) in die
Tangentialkraft und in die nach dem Krümmungsmittelpunkte der Bahn hin gerichtete Centripetalkraft zerlegt.
Boltzmann, Mechanik I. 6