Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

80 II. ~ 23. Bahntypen. [G1. 53.
für kleine r von m k2 - mh r2 um kleines von höherer Ordnung als r4 [l t 11 ].. verschieden wäre.
Ebenso reicht eine Bahn in unendliche Entfernung,
wenn t (r) für r = oo positiv ist oder von einem positiven
Werth aus sich der Grenze Null nähert, was für die physikalisch eigentlich allein wichtigen Fälle, dass 9 (oo) verschwindet, nur für positive h, oder wenn p (r) für grosse r
positiv ist, auch für h = 0 eintreten kann. Ob der Leitstrahl r dabei einen endlichen Winkel beschreibt oder unendlich viele Umläufe macht, sowie ob das Bewegliche eine
beliebig grosse Entfernung in endlicher oder erst unendlicher Zeit erreicht, hängt wieder von dem leicht zu discutirendem Werthe zweier bestimmter Integrale ab, welche
sonst genau mit den bestimmten Integralen 51) und 52)
übereinstimmen; nur dass ihre untere Grenze sehr gross,
ihre obere unendlich ist.
Da t/ (r) continuirlich ist, so kann es von einem positiven zu einem negativen Werth nur durch den Werth Null
übergehen. Wir wollen bei gegebenem Kraftgesetze die
verschiedenen, einem gegebenen Werthepaare von h und k
entsprechenden Bahnen untersuchen. Für ihre Anzahl ist
die Anzahl der positiven Wurzeln der Gleichung
53) (r) =O
maassgebend. Wir setzen zunächst voraus, dass für das gegebene Werthepaar von h und k die obige Gleichung 53)
keine gleichen positiven Wurzeln hat, dass also für keinen
positiven Werth des r, der sie befriedigt, auch p'(r)-= 0 ist.
Dann wird für jede positive Wurzel ro der Gleichung 53)
p (r) mit wachsendem r entweder von einem negativen Werth
zu einem positiven oder umgekehrt übergehen. Wir nennen
die Wurzel r = ro im ersten Falle eine steigende, im zweiten
Falle eine sinkende. Für jede solche Wurzel ist dr/d 9- =- 0.
Zwischen jeder sinkenden und der nächst grösseren
steigenden Wurzel ist p (r) negativ, daher keine Bahn möglich.
Zwischen einer steigenden und der nächst grösseren sinkenden ist immer eine Bahnform möglich, deren Periheldistanz
die steigende, deren Apheldistanz die sinkende Wurzel ist