Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

Gl. 43-45.] II. ~21. Centralbewegungnachd.Gravitationsgesetze. 71
h = - s2/k2, so sieht man leicht, dass die Anziehung gleich
der der Kreisbahn entsprechenden Centripetalkraft ist.
Wäre die dem Quadrate der Entfernung verkehrt proportionale Kraft eine abstossende, so wäre X negativ. Dann
wäre für reelle Werthe der Geschwindigkeiten stets h positiv
und daher 5 > 1. Die Bewegung würde also stets in einer
Hyperbel erfolgen, wenn k von Null verschieden ist.
Wir wollen nur noch dem Falle, dass e < 1 und 2l
natürlich positiv ist, einige Betrachtungen widmen. Die
Bahn ist dann eine Ellipse, deren grosse Halbaxe a das
arithmetische Mittel des grössten und kleinsten Werthes von r
(der Perihel- und Apheldistanz) ist. Es ist also:
43) a- 2 = =
Die kleine Halbaxe ist
b=a 1/2= k
y-h
Sind die Anfangswerthe ro und cy von r und a und der
Winkel zwischen beiden (ro, c) gegeben, so finden sich
daraus die Constanten h und k durch folgende Gleichungen:
h = c02 2, k = ro c0 sin (ro, ).
0
Um r und a als Functionen der Zeit zu finden, dient die
Gleichung 39), welche sich in unserem Falle auf
44) dt = d
}/h r2 + 2 r - k2
reducirt. Diese wird bekanntlich integrirt, indem man einen
Hülfswinkel u einführt, welcher durch die Gleichung
45) r = a (1 - s cos u)
definirt ist. u heisst die mittlere, a die wahre Anomalie.
Der Winkel u kann leicht durch Construction gefunden
werden. Sei die Bahnellipse gegeben, 0' ihr Mittelpunkt,
0 ihr Brennpunkt, OÄ ihre grosse Axe, M irgend ein Punkt
derselben in der Entfernung r von 0 mit der wahren Anomalie 9. Wir construiren Fig. 3 den Kreis vom Radius a