Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

G1. 33. 34.] II. ~ 20. Grundgleichungen für die Centralbewegung. 67
lich sein. Wenn aber der Quotient des Zuwachses von r
in den von f(r) niemals unendlich wird, so ist das Problem
immer eindeutig bestimmt, d. h. es können nie aus den
gleichen Anfangswerthen nach einer endlichen Zeit sich
zweierlei Werthcombinationen der Coordinaten ergeben.
Wir haben also nur noch die beiden ersten der Gleichungen 32) weiter zu behandeln. Wir leiten da zuerst die
Gleichung der lebendigen Kraft nach der Methode ab, die
wir schon bei Entwickelung der Gleichung 20) auseinandergesetzt haben. Wir multipliciren die linke Seite der ersten
der Gleichungen 32) mit u dt, die rechte mit dx, die linke
Seite der zweiten Gleichung mit vdt, die rechte mit dy
und addiren dann beide Gleichungen. Da
d2 t = d
ddt-du
d t2
ist, so erhalten wir auf diese Weise links
m(u du + dv) == d (
rechts aber
f() xdx + ydy f(r)dr,
r
da ja r = fxat + y2 ist. Die Integration liefert
ne2 hrnm
33) n2~ =-t(r) + 2
wobei das unbestimmte Integrale
-34) ff(r)dr =_ (r)
gesetzt und die willkürliche Constante h beigefügt wurde,
damit der Integrationsconstante des unbestimmten Integrales ein beliebiger, möglichst einfach zu wählender specieller
Werth ertheilt werden kann.
Die Ableitung p' (r) von j (r) ist also gleich f(r).
Eine zweite Integralgleichung (d. h. Gleichung mit einer
willkürlichen Integrationsconstante) gewinnen wir, wenn wir
die erste der Gleichungen 32) mit - y, die zweite mit + x
multipliciren und dann wieder beide addiren. Dadurch folgt:
d2y d2
emn x --- dt -- d _O.
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