Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

66 II. ~ 20. Grundgleichungen für die Centralbewegung. [G1. 32.
Coordinaten zur Zeit t mit x, y, z bezeichnet werden sollen,
sei eine Function f(r) der Entfernung desselben von einem
im Raume festen Punkt 0 und falle auch immer in die
Richtung von r. Wir geben wieder der Function f(r) das
positive oder negative Vorzeichen, je nachdem die Kraft die
Entfernung r zu vergrössern oder zu verkleinern strebt,
d. h. je nachdem sie von 0 weg- oder gegen 0 hingerichtet
ist. Eine solche Kraft nennen wir eine Centralkraft. Die
Bewegung, welche ein materieller Punkt unter ihrem Einflusse macht, nennen wir eine Centralbewegung.
Diese Bedingungen sind realisirt, wenn auf den beweglichen materiellen Punkt ein einziger anderer wirkt, welcher
in der Entfernung r die Kraft f(r) auf ihn ausübt und entweder
durch irgend eine Vorrichtung immer in dem fixen Raumpunkte 0 festgehalten wird oder zu Anfang ruhte und eine
sehr grosse Masse gegenüber der Masse des beweglichen
Punktes hat. Im letzteren Falle sind die Bedingungen
natürlich nur angenähert realisirt, da die Beschleunigung
des wirkenden materiellen Punktes immer sehr klein gegen
die des anderen ist und daher auch die Geschwindigkeit
und Ortsveränderung des wirkenden materiellen Punktes
sehr klein bleiben.
Wir wählen den Punkt 0 als Coordinatenursprung und
die Ebene, welche ihn und die Richtung der Anfangsgeschwindigkeit des beweglichen materiellen Punktes enthält, als x y-Ebene, dann enthält die Gleichung 9) ein
einziges Glied, in welchem für x i,, Z, xk Yk, % m, r 1
und f (r1k) zu schreiben ist x, y, z, 0, 0, 0,, r und f(r).
Wir erhalten daher, wenn wir die jeder der Coordinatenaxen
entsprechende Gleichung hinschreiben, die drei Gleichungen
32) m d2 f dx y m f(r), d2 = r
ds) -- =-~f(r), dlt - fld
32) ^^ -^M- ^ -t^^r d r dt
Da zu Anfang der Zeit = d/dt = 0 ist, so ist alles bezüglich der xy-Ebene symmetrisch, und wir erhalten die
einzig mögliche Lösung, indem wir für alle Zeiten = 0
setzen. Denn würde irgend einmal % von Null verschiedene
Werthe annehmen, so müsste die Lösung, wo z die gleichen
entgegengesetzt bezeichneten Werthe hat, ebenso gut mög