Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

60 II. ~ 18. Gedämpfte Schwingungen. [G1. 28.28 a.
positive Grössen sind, wenn, wie wir annehmen, a und b
positiv sind, d. h. wenn die der Coordinate proportionale
Kraft eine Anziehung, die der Geschwindigkeit proportionale
eine Dämpfung ist. C und C, sind die Integrationsconstanten, die ohne Weiteres bestimmt werden können, wenn
die Werthe der Coordinate und Geschwindigkeit zu Anfang der Zeit gegeben sind. Die irgend einer Zeit entsprechende Abscisse besteht also aus zwei Summanden,
welche sich beide mit wachsender Zeit nach dem Exponentialgesetze asymptotisch der Null nähern, d. h. sie nehmen
in geometrischer Progression ab, wenn die Zeit in arithmetischer wächst. Der erste Summand nimmt noch weit
rascher als der zweite ab, so dass nach längerer Zeit zwar
auch der zweite sehr klein, aber der erste noch viel kleiner
geworden ist.
Für b2 = am folgt aus Gleichung 27)
bt
x= (Ct + C)e i'
Beide Glieder nähern sich mit wachsender Zeit asymptotisch der Null, jedoch nur das zweite nach dem einfachen
Exponentialgesetze und es wäre wie im früheren Falle leicht,
diejenige Relation zwischen dem Anfangswerthe der Coordinate und dem der Geschwindigkeit zu finden, welche erfüllt
sein muss, damit nur das eine oder nur das andere Glied
auftritt. Die Bewegung heisst in den beiden betrachteten
Fällen eine aperiodische.
Ist b2 < a m, so werden die beiden im ersten Falle mit
ai und ca bezeichneten Constanten complex und man findet,
wenn man die imaginären Exponentiellen in bekannter Weise
durch trigonometrische Functionen ersetzt:
x=[Csin( )+ + os
x = S z + C cos e,
wobei zur Abkürzung gesetzt wurde:
7ct m b
28) T =, - =,
lma - b2 m ma- 62
so dass
b - X a +;_ __ _
28a) b a - 2
m z m z2