Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

G1. 27.] II. ~ 18. Gedämpfte Schwingungen. 59
~ 18. Gedämpfte harmonische Schwingungen.
Wir wollen nun noch den Fall betrachten, dass nebst
der der Coordinate proportionalen Kraft noch eine der Geschwindigkeit proportionale wirkt. Wir wollen in diesem
Falle aber nur die Bewegung in einer Geraden ins Auge
fassen. Wählen wir diese Gerade zur Abscissenaxe, so erhalten wir also jetzt an Stelle der ersten der Gleichungen 24)
die Gleichung
dx dx
27) md, =-ax 2bd.
d -t2 dt
a und b sind Constanten. Die der Geschwindigkeit proportionale Kraft soll stets der Bewegung entgegenwirken,
weshalb wir ihr das negative Zeichen geben. Die Bewegung
eines langsam unter dem Einflusse der Schwere und des
Luftwiderstandes schwingenden Pendels geschieht, wie wir
später sehen werden, mit grosser Annäherung nach den
durch diese Gleichungen ausgesprochenen Gesetzen. Die
Kräfte, welche Lufttheilchen ausüben, lassen sich gut durch
das Bild von Centrikräften darstellen und man kann hieraus
(wenigstens beiläufig) motiviren oder als aus der Erfahrung
bekannt voraussetzen, dass die Bewegung der Lufttheilchen
in der Umgebung des schwingenden Pendels angenähert so
geschieht, dass die Kraft der ersteren auf das letztere der
Geschwindigkeit desselben proportional ist. Nach den durch
die Gleichung 27) bestimmten Gesetzen schwingt auch ein
durch eine Kupfermasse gedämpfter Magnet. Wir wissen in
diesem Falle weniger über die Bilder, durch welche sich die
von den elektrischen Strömen der Kupfermasse auf den
Magneten ausgeübten Kräfte darstellen lassen. Es lehrt aber
auch hier wieder die Erfahrung, dass die dämpfende Kraft
der Geschwindigkeit proportional ist. Die Integration der
Gleichung 27) liefert
x = Ce-t + C e - t,
sobald b2 > am ist, wobei
b + -/b2 - am
~1 -- 7m
b-/b2-am
m