Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

G1. 13b.] I. ~ 10. Kräftenparallelogramm. 33
eine Wirkung in der Richtung A K, das negative in der
entgegengesetzten aus. Wir erhalten somit:
13b) f(a)f() = f( - c.) + f( + a)
für alle Werthe von c und ß, die innerhalb der im Obigen
angenommenen Grenzen liegen.
Für a =0 ist die Resultirende doppelt so gross als
jede der Componenten. Daher ist f(0) 2. Wenn E ein
sehr kleiner Winkel ist, so können wir jedenfalls f(E) = e + e-
oder = — (e~ + e-c) oder = 2 cos C setzen, je nachdem
f(e) > 2 oder < - 2 ist oder zwischen + 2 oder - 2 liegt.
Wäre es genau gleich + 2 oder - 2, so würden wir die
erste oder zweite Form mit 5 = 0 wählen. Machen wir nun
in Gleichung 13b) der Reihe nach folgende Substitutionen:
a =, ß = E, dann o = e, ß = 2, dann a = e-, 3 E oder
a-= = 2 8, dann oa =, f = 4 e oder a = 2, = 3 E u. s. f.,
so finden wir ohne Schwierigkeit für beliebige ganze Zahlen h
f(he) = ehC + e- h oder = (- 1)h (eh: + e- h) oder =2 cos h;,
je nachdem wir die erste, zweite oder dritte Form für f(E)
gewählt haben. Nun verschwindet die Resultirende, also
f(he) für h = 90~, aber für keinen Werth des he, der
zwischen 00 und 900 liegt; daher kann f(h ) nicht durch
eine der Exponentialformeln dargestellt sein. Es muss also
gleich 2cos(h ) sein und zwar muss für h = 900 auch
h =- 90~, also 4 = e sein. Man erhält also f(h e) =2 cos (h e)
und wenn man die ganz beliebige Grösse h mit ~ bezeichnet, f(a)= 2 cos a, womit das Kräftenparallelogramm
für den Fall bewiesen ist, dass beide Componenten untereinander gleich sind.
Nun geht man zu dem Falle über, dass zwei ungleiche
aufeinander senkrechte Kräfte A B und A C auf einen Punkt A
wirken. Man halbirt die Gerade B C im Punkte D und zerlegt jede der gegebenen Kräfte in eine Componente in der
Richtung AD und eine zweite, die mit der zu zerlegenden
Kraft denselben Winkel nach der entgegengesetzten Seite
einschliesst. Die beiden letzteren Componenten heben sich
auf, die beiden ersteren sind beide gleich AD und geben
zusammen die nach dem Satze vom Kräftenparallelogramme
Boltzmann, Mechanik I. 3