Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

12 I. ~ 3. 2. Grundannahme. Geschwindigkeit. [G1. 4 a.
eine Grösse unterscheiden, welche durch eines der Differentiale (wenn der Coefficient eines derselben Null ist, muss
dieses gewählt werden) dividirt, sich mit abnehmendem
Werthe des Nenners der Grenze Null nähert (unendlich
klein höherer Ordnung ist). Die Gleichheit zweier Differentialausdrücke ist daher erwiesen, wenn man geometrisch
oder sonst wie zeigen kann, dass ihr Unterschied unendlich
klein höherer Ordnung ist.
Wir wollen uns sehr häufig der Gleichungen zwischen
Differentialausdrücken in diesem Sinne bedienen und schreiben
daher die Gleichungen 1), 2), 4) einfacher in der Form:
dx =udt, dy =vdt, d = wdt,
4 a) {
ds = Gdt = ]/(d x)+ (dy)2+ (d %)2
Die letzte dieser Gleichungen besagt, dass sich der Unterschied zwischen dem sehr kleinen Wege ds und der mit c
multiplicirten Zeit dt, während welcher er zurückgelegt
wurde, durch dt dividirt der Grenze Null nähert, woraus
sofort folgt, dass die Summe f ds aller während einer endlichen Zeit zurückgelegten Wege gleich dem Integrale f c d t
ist, wenn c als Function der Zeit gegeben ist.
Es giebt wie bekannt auch Functionen, welche bei
jedem unendlich kleinen Zuwachs des Argumentes unendlich wenig wachsen, ohne dass sich für irgend einen Werth
des Argumentes der Quotient des Zuwachses des Argumentes
in den der Function bei unendlicher Abnahme des ersteren
irgend einer bestimmten Grenze nähert; daher folgt aus der
Annahme 1 noch keineswegs die Annahme 2. Jeder, der
einmal Mechanik studirte, wird sich wohl erinnern, welche
Schwierigkeiten ihm das Verständniss der Beweise machte,
dass die Bewegung während einer sehr kurzen Zeit als geradlinig und gleichförmig, die Kräfte während einer solchen
als unveränderlich betrachtet werden können. Diese Schwierigkeiten liegen einfach darin, dass die betreffenden Beweise
gar nicht richtig sind.
Die analytischen Functionen haben wir ja gerade zur
Darstellung der Erfahrungsthatsachen gemacht. Ihre Differentiirbarkeit kann nicht als Beweis für die Differentiirbar