Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

G1. 200.] VI. ~ 74. Methode der Multiplicatoren. 239
Bedingungen 186) in der That genügt und diese die Lösung
der mechanischen Aufgabe eindeutig bestimmt, abgesehen
von den schon erwähnten Singularitäten. Multipliciren wir
nämlich die Gleichung 200) mit r x und addiren alle so
für alle h folgenden Gleichungen, so ergiebt sich:
h=3n I=a h=3n
_ (h X7 - Xh) Yhx = Z e l' h y Xh
h=l 1=1 h=1
h=3n
h h Yx ist nun für alle 1, für welche in der betreffenden
h=l
Relation 186) nur das Gleichheitszeichen gilt, gleich Null,
für alle anderen negativ (incl. Null). Es folgt also in der
That die Relation 184). Da nun die gefundene Lösung
auch die erforderliche Zahl von Integrationsconstanten enthält, so ist sie die allgemeine Lösung der mechanischen
Aufgabe.') Specielle Beispiele gaben wir schon in ~ 41 und
zum Schlusse von ~ 43.
Würde für einige (sagen wir o') der Werthe der 1, für
welche in den Relationen 196) oder 197) auch das Ungleichheitszeichen gilt, X, positiv, so wäre die entsprechende
Gleichung aus den Gleichungen 198) oder 199), aber auch
das mit dem entsprechenden X behaftete Glied aus den
Gleichungen 200) wegzulassen. Denn wenn die Bewegung
der entsprechenden Gleichung 198) oder 199) gemäss erfolgen würde, so würde von der Vorrichtung, die die betreffende Relation herstellt, eine Widerstandskraft gefordert,
die sie nur zu leisten vermöchte, wenn sie auch zu verhindern vermöchte, dass die linke Seite der Gleichung 196)
oder 197) grösser als Null wird; daher geschieht die wirkliche Bewegung unbekümmert um diese Vorrichtung.
Wir haben nun nur mehr 3 n + a - a' Gleichungen,
aber auch nur mehr 3 n + o- a- ' Unbekannte. Die aus
diesen Gleichungen folgenden Werthe der Unbekannten
nennen wir die Lösungswerthe. Dieselben befriedigen die
1) Jede der Coordinaten, die wir uns durch eine der Relationen
198) eliminirt denken, bringt keine, jede durch 199) eliminirte eine,
jede andere Coordinate zwei Integrationsconstanten hinein und man
sieht leicht, dass es ebensoviele voneinander unabhängige Anfangswerthe giebt.