Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

G1. 181.] VI. ~ 69. Ein Lehrsatz Gibbs'. 225
dass X negativ oder < m v2/ R ist, muss also x' - v2/ R sein,
d. h. der materielle Punkt bleibt auf der Fläche, was mit
der Erfahrung stimmt, da dann in der That die äussere
Kraft entweder nach der Seite der negativen Abscissen gerichtet ist oder, wenn sie die entgegengesetzte Richtung hat,
kleiner ist als die das Bewegliche an die Fläche andrückende
Centrifugalkraft.
2. Wäre X/m > v2/R, so wäre, wenn x" - v2/R wäre,
der erste Factor der linken Seite der Relation 181) negativ.
Da äx" jedenfalls positive Werthe haben kann, so wäre also
diese Relation nicht erfüllt. Dann muss also x' > v2/R sein.
Da aber in diesem Falle Yx" positiv und negativ sein kann,
so kann die Relation 181) nur erfüllt sein, wenn mx"= X
ist. Das Bewegliche löst sich also von der Fläche ab und
bewegt sich so, als ob es frei wäre. Dies stimmt wieder
mit der Erfahrung, da jetzt die Componente der Kraft,
welche das Bewegliche von der Fläche hinwegtreibt, grösser
als die Centrifugalkraft ist.
3. Ist endlich X/m = v2/R, so ist jedenfalls auch
x-= v2/R. Denn wenn x" > v2/R wäre, so wäre in 181)
der erste Factor positiv und der zweite könnte auch negativ
sein. Die Bahn des Beweglichen würde dann auch, wenn
es frei wäre, die Fläche F osculiren.
Aus den angestellten Betrachtungen folgt sofortFolgendes.
Ein materieller Punkt bewege sich längs einer krummen
Fläche, welche er nach der concaven, nicht aber nach der
anderen Seite hin verlassen kann. Die Componente N der
von aussen auf ihn wirkenden Kraft senkrecht zu dieser
Fläche wachse continuirlich von einem Werthe, der kleiner
als m v2/R ist, zu einem grösseren oder springe plötzlich zu
einem solchen über. Dann löst sich das Bewegliche im
Momente, wo N m v2/R wird, von der Fläche mit der
Beschleunigung N/m los. Aus dem Principe des kleinsten
Zwanges folgt dies unmittelbar durch seine Anwendung auf
jeden einzelnen Moment der Bewegung, aus dem der virtuellen Geschwindigkeiten aber nur durch Zuziehung fremdartiger Betrachtungen, z. B. über die Bewegung, welche sich
dann für spätere Zeitmomente ergeben würde.
Boltzmann, Mechanik I. 15