Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

224 VI. ~ 69. Ein Lehrsatz Gibbs'. [G1. 181.
schleunigung in der y- und z-Richtung sind willkürlich;
daher folgt aus der Relation 179) wieder m y" = Y, m z" = Z
und diese reducirt sich auf
181) (mx" - X) xrx" 0.
Die Geschwindigkeit v kann keine negative Componente in
der Abscissenrichtung haben, da das Bewegliche verhindert
ist, auf die Seite der negativen Abscissenaxe zu gelangen.
Sie kann aber auch keine positive Componente in der Abscissenrichtung haben, da das Bewegliche sonst von der
Seite der negativen Abscissen kommen müsste, wenn dessen
Geschwindigkeit nicht eine endliche Richtungsänderung erfährt, was wir ausschliessen wollen, da dazu eine unendliche
Kraft erforderlich wäre. Es steht also die Geschwindigkeit v senkrecht auf der Abscissenrichtung und daher ist
die Beschleunigung x" in der positiven Abscissenrichtung,
wenn sich das Bewegliche gerade in der Fläche F bewegt,
gleich v2/R. Das Bewegliche kann sich nicht in einer
weniger gekrümmten oder gar nach der anderen Seite gekrümmten Bahn bewegen, da es sonst nach derjenigen Seite
der Fläche F gelangen würde, welche der negativen Abscissenrichtung zugewandt ist. Es kann also die Beschleunigung keinen negativen und keinen kleineren Werth als
v2/R annehmen. Dagegen kann die Bahn stärker nach der
positiven Abscissenseite hin gekrümmt, also x" beliebig
grösser als v2/R sein. Wir erhalten daher für c x" folgende
Bedingungen: Wenn x" = v2 / R ist, kann Y x" nur gleich Null
oder positiv sein. Wenn dagegen x" > v2/R ist, so ist ~x"
ebenso willkürlich wie Sy" und x".
Nachdem dies festgestellt ist, wollen wir untersuchen,
was aus dem Principe des kleinsten Zwanges, das sich auf
die Relation 181) reducirt hat, folgt. Wir unterscheiden
folgende Fälle:
1. X sei negativ oder habe einen so kleinen positiven
Werth, dass X/m < v2/R ist. Dann ist in 181) der erste
Factor nothwendig positiv, da x" - v2/R ist. Der Fall, dass
x" > v2/ R ist, ist also dann durch die Relation 181) ausgeschlossen, da in diesem Falle 8x" und damit die linke
Seite von 181) auch negativ sein könnte. In diesem Falle,