Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

Gl.180a.] VI. ~ 69. Ein Lehrsatz Gibbs'. 223
~ 69. Specieller Fall, wo das Princip des kleinsten Zwanges
mehr leistet, als das der virtuellen Verschiebungen.
Es sei eine Fläche F gegeben, welche durch den
Coordinatenursprung geht, daselbst senkrecht auf der Abscissenaxe steht und der positiven Abscissenrichtung ihre
concave Seite zuwendet. Ein beweglicher materieller Punkt
von der Masse m, dessen rechtwinkelige Coordinaten im Allgemeinen x, y, z heissen sollen, passire zur Zeit t, für welche
man seine Beschleunigung sucht, gerade den Coordinatenursprung mit der Geschwindigkeit v. Der Krümmungsradius
des Schnittes der Fläche F und der Ebene, welche v und die
Abscissenaxe enthält, sei R. Die Bedingung, welcher der
materielle Punkt unterworfen ist, bestehe zur Zeit t darin,
dass er die Fläche Fnach der der negativen Abscissenrichtung
zugewandten Seite nicht überschreiten darf, sich aber nach
der positiven Abscissenrichtung hin beliebig von derselben
entfernen kann. Bei Anwendung des Principes der virtuellen
Verschiebung ist daher 3y und 6 beliebig, c x dagegen
kann ebenfalls beliebige, aber nur positive Werthe (incl. Null)
annehmen. Die Relation 93) fordert daher, dass my"= Y
und m z" = Z sei. Da a x nur gleich Null oder positiv, und
x' vermöge der Bedingungen des Systems gleich oder beliebig grösser als v2/ R sein kann (vergl. ~ 13), so ist die
Relation 93) immer erfüllt, falls x" gleich dem grösseren
der beiden Ausdrücke v2/R oder X/m oder noch grösser ist.
Diese Relation lässt also völlig unbestimmt, ob sich nicht
das Bewegliche schon für Werthe des X, die kleiner als die
Centrifugalkraft m 2/R sind, von der Fläche loslöst. Die
Unmöglichkeit hiervon kann man nur indirect daran erkennen, dass dann sofort nach der Loslösung das Bewegliche völlig frei und seine Beschleunigung in der Abscissenrichtung gleich X/m, also kleiner als v2/R werden müsste, so
dass es sich sofort wieder an die Fläche anschliessen müsste.
Bei Anwendung des Principes des kleinsten Zwanges
ist weder der Ort, wo sich der materielle Punkt befindet,
noch sind dessen Geschwindigkeitscomponenten zu variiren.
Die Variationen S y" und 8 " der Componenten der Be