Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

G1. 180.] VI. ~ 68. Vergleich beider Principe. 221
~ 68. Vergleich des Princips des kleinsten Zwanges mit
dem der virtuellen Verschiebungen.
Wir haben das Princip des kleinsten Zwanges aus dem
der virtuellen Verschiebungen abgeleitet. So lange das Gleichheitszeichen gilt, folgt wieder umgekehrt aus der abgeleiteten
Gleichung auch die ursprüngliche, da wir ja Mehrdeutigkeiten ausschlossen. Sobald also immer Gleichheitszeichen
gelten, ist das Princip der virtuellen Verschiebungen mit
dem des kleinsten Zwanges gleichbedeutend.
Wenn aber aus zwei Ungleichungen eine dritte folgt,
so folgt aus der zweiten und dritten im Allgemeinen nicht
wieder die erste. Es ist also die zweite und dritte nicht
mit der ersten und zweiten gleichbedeutend. Daher sind
auch die Bedingungen 180) nicht mit 86) und 88) identisch,
und das Princip des kleinsten Zwanges ist, wenn Relationen
mit Ungleichheitszeichen vorhanden sind, im Allgemeinen
nicht mit dem der virtuellen Verschiebungen gleichbedeutend.
Für dauernde Ruhe sämmtlicher materieller Punkte sind
jedoch beide Principe auch in letzterem Falle gleichbedeutend,
so dass auch aus dem Principe der virtuellen Verschiebungen
die Bedingungen des Gleichgewichtes im Ruhezustande immer
eindeutig folgen, wie man folgendermaassen sieht. Im Falle
des Gleichgewichtes im Ruhezustande coincidiren die vier
Punkte Ah, Bh, Ch, Dh (~ 66, Fig. 16), da die Anfangsgeschwindigkeit sämmtlicher Punkte Null ist. Es wird also
der Unterschied Ch Fh zwischen der Beschleunigung bei der
variirten und wirklichen Bewegung identisch mit der virtuellen Verschiebung des betreffenden Punktes. Die Projectionen von ChFh auf die Coordinatenaxen können daher
ebenso gut die Grössen öx^', c y' und Sxz' als die Grössen
8xh, byh und zh bedeuten und die beiden Relationen 93)
und 179) werden identisch.
Analytisch spricht sich dies dadurch aus, dass man
während jedes Zeitmomentes einer sehr kleinen Zeit z den x",
y" und x", welche anfangs alle gleich Null sind, beliebige mit
den Bedingungen verträgliche sehr kleine Werthe 8x", 3y"
und Y%" ertheilen kann. Die Relation 179) gilt dann
während jedes dieser Zeitmomente. Integrirt man zweimal