Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

210 VI. ~ 65. Analytischer Beweis. [G1. 166.167.
Systems nennen wir die nach Gauss' Manier variirte Bewegung. Diese anderen Functionen der Zeit sollen so gewählt
werden, dass zu einer bestimmten Zeit, die übrigens beliebig
gewählt werden kann, weder die Werthe der Coordinaten,
noch deren erste Differentialquotienten nach der Zeit, die wir
durch einen angehängten Strich markiren, eine Veränderung
erfahren. Wohl aber sollen die zu dieser Zeit geltenden
Werthe der Beschleunigungen x', y', x' für jeden materiellen Punkt unendlich kleine Zuwächse 6 x"', Y y', y h erfahren, welche sonst beliebig sind; sie sollen nur der Beschränkung unterworfen sein, dass die variirte Bewegung
ebenfalls den Bedingungen des Systems genügen soll, d. h. die
Substitution von yX (t), iJ1 (t), o1 (t) für Xh yh, Z soll ebenfalls die Bedingungen des Systems, welche die Form 165)
haben, befriedigen. Die Zuwächse, welche die der Zeit t
entsprechenden Werthe der verschiedenen Grössen beim
Uebergang von der wirklichen zu der nach Gauss' Manier
variirten Bewegung erfahren, bezeichnen wir wieder durch
ein vorgesetztes Y. Wir wollen nun beweisen, dass für den
Uebergang von der wirklichen Bewegung zu der nach
Gauss' Methode variirten stets
i h=n
166) | [(mxh x- Xh) 8 h' +Jr (mY h y- h) Y Yh
h=l
+(m^-%Z)h]=0 ist.
t,~ JR-+ (vMh z~' - Zh) $ %'] = O ist.
Natürlich gilt dies nur gerade für den fraglichen Zeitmoment, für welchen die Coordinaten und Geschwindigkeitscomponenten keine Aenderungen erfahren, also:
( Xh = a6yh = 8Xh = $ -- - h =y 8 zn = 0,
167) h 1, h.2...n
ist. Die Functionen X1 (t), p1 (t), co, (t) können immer so gewählt werden, dass diese Gleichung für einen bestimmten,
beliebig gewählten Zeitmoment, nicht aber so, dass sie für
eine endliche Zeitdauer erfüllt sind. In letzterem Falle
müssten auch Xh', 3SYh, Y h% während der ganzen Zeit verschwinden. Wir beweisen die Gleichung 166) in folgender
Weise: aus den Gleichungen 165) folgt für die wirkliche
Bewegung während der Zeit dt