Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

196 V. ~ 59. Hauptträgheitsmomente. [G1. 155.
155) L1 = mx2, L2 = my2, L3 = mx2
zu berechnen (Binet'sche, Minding'sche Trägheitsmomente),
welche natürlich ähnliche Eigenschaften haben wie die gewöhnlichen Trägheitsmomente und durch ähnliche Ellipsoide
(Binet's, Darboux's, Culmann's, Reye's Ellipsoid) dargestellt werden können.1) Es ist dann
K = L2 + L3 2 = L, + L3, K = L, + L2.
Daraus folgt K1 + K2 > K3 > j - K2. Zwei der Trägheitsmomente bezüglich der Coordinatenaxen können daher beliebige positive Werthe haben; das dritte aber muss zwischen
deren Summe und Differenz, welche natürlich durch Subtraction des kleineren vom grösseren zu bilden ist, liegen.
Da dies auch von den Hauptträgheitsmomenten gilt, welche
gleich den reciproken Quadraten der Halbaxen c1, a2, ca3
des Trägheitsellipsoides sind, so muss auch
1 1 1 1 1
o 2 0 2 a j oc 3 C2 G a 2
sein. Ein Ellipsoid, dessen Halbaxen dieser Relation nicht
genügen, kann also nicht Trägheitsellipsoid sein. Gilt sie
für eine Halbaxe c3 und ist ca die kleinere der beiden
anderen, so muss sie auch, wie man leicht sieht, für jede
andere Halbaxe gelten.
Der von uns bisher ausgeschlossene Fall, dass alle
Massen in einer Geraden liegen, bildet nur dann einen
singulären Fall, wenn auch der Punkt 0 in dieser Geraden
liegt. Dann ist das Trägheitsmoment bezüglich dieser Geraden, welche natürlich Hauptträgheitsaxe ist, Null, bezüglich jeder daraufSenkrechten, die ebenfalls Hauptträgheitsaxe
ist, gleich. Das Trägheitsellipsoid degenerirt also in einen
unendlichen Kreiscylinder.
Bei Berechnung der Trägheitsmomente oder der Ausdrücke 155) wird natürlich gerade, wie wir dies in ~ 28 bei
Berechnung der Schwerpunktscoordinaten thaten, der feste
Körper meist als ein continuirlich mit Masse von constanter
oder veränderlicher Dichte erfülltes Volumen oder als eine
1) Wied. Beibl. 7, 571, 1883; 8, 269, 1884.