Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

194 V. ~ 59. Hauptträgheitsmomente. [G1. 153.
~ 59. Hauptträgheitsmomente.
Jede Axe des Trägheitsellipsoids nennt man eine zum
Punkte O gehörige Hauptträgheitsaxe des Körpers und das
dazu gehörige Trägheitsmoment ein Hauptträgheitsmoment.
Da 1/j/, 1/j/ und 1 / /c die Halbaxen des Trägheitsellipsoides sind, welches, wenn man seine Axen als Coordinatenaxen wählt, ja die Gleichung 153) hat, so sind die
Hauptträgheitsmomente die reciproken Quadrate der Halbaxen des Trägheitsellipsoides. Ist das Trägheitsellipsoid ein
dreiaxiges Ellipsoid, so giebt es nur drei zum Punkte O
gehörige Hauptträgheitsaxen. Ist es ein Rotationsellipsoid,
so existirt für den Punkt eine singuläre Hauptträgheitsaxe
und jede darauf Senkrechte ist ebenfalls Hauptträgheitsaxe.
Dann sind auch alle Trägheitsmomente nach den letzteren Axen
gleich. Dies ist selbstverständlich, wenn der Körper um die
singuläre Hauptträgheitsaxe symmetrisch, z. B. ein homogen
mit Masse erfüllter Rotationskörper und der Punkt O ein
Punkt der Rotationsaxe ist. Es kann aber auch ohne Symmetrie des Körpers eintreten. Bei einem beliebigen Körper
z. B., dessen Trägheitsellipsoid ein dreiaxiges ist, kann man
durch Hinzufügung einer einzigen oder beliebig vieler Massen
auf der Axe des mittleren Trägheitsmomentes diesem das
kleinste gleich machen. Dann muss der Körper ohne jede
Symmetrie für alle in deren Ebene liegenden Axen gleiches
Trägheitsmoment haben.
Ist das Trägheitsellipsoid eine Kugel, so sind alle ihre
Radien Hauptträgheitsaxen, alle Trägheitsmomente bezüglich
derselben gleich. Dies tritt bei regulären, gleichförmig mit
Masse erfüllten Körpern (Kugel, Würfel) immer ein, wenn
der Punkt O ihr Mittelpunkt ist, kann aber auch bei ganz
unregelmässigen Körpern gewissermaassen zufällig eintreten.
Wenn wir drei Hauptträgheitsaxen als Coordinatenaxen
einführen, so verschwinden in Gleichung 152) alle drei
Coefficienten d, e und f. Wenn wir dann blos die y- und
z-Axe in der y -Ebene drehen, so erhält blos d einen von
Null verschiedenen Werth. Wir können daher eine zu O
gehörige Hauptträgheitsaxe als eine solche definiren, für