Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

G1. 153.] V. ~ 58. Trägheitsellipsoid. 193
tragen, deren Länge die reciproke Quadratwurzel aus dem
Trägheitsmomente des Körpers bezüglich der betreffenden
Geraden ist, so genügen die Coordinaten der anderen Endpunkte aller dieser Geraden der Gleichung 152). Dieselbe
ist also die Gleichung der Fläche, welche von allen diesen
Endpunkten gebildet wird. Man nennt sie das Trägheitsellipsoid oder auch das Centralellipsoid, welches zu dem
Punkte O des betreffenden Körpers gehört. Schliessen wir
nämlich den Fall aus, dass alle Massenpunkte des Körpers
in einer Geraden liegen, so kann K niemals Null, daher r
niemals unendlich werden. Die durch die Gleichung 152)
dargestellte Fläche kann sich daher nirgends ins Unendliche
erstrecken. Sie muss, da diese Gleichung vom zweiten Grade
ist, ein Ellipsoid (einschliesslich der Kugelfläche) sein.
Haben wir die sechs Grössen a, b, c, d, e, f berechnet, so
können wir dieses Ellipsoid construiren und erhalten so ein
anschauliches Bild der verschiedenen Trägheitsmomente. Die
Wahl der Coordinatenaxen war bisher vollkommen willkürlich.
Wir können immer die drei Axen des Trägheitsellipsoides
(falls dieses ein Rotationsellipsoid oder eine Kugelfläche ist,
drei beliebige aufeinander senkrechte Axen desselben) als
Coordinatenaxen wählen. Wir bezeichnen diese neuen
Coordinatenaxen mit OX1, 0 Y1, 0 Z. Die Gleichung des
Trägheitsellipsoides reducirt sich dann, wenn i, tl, i die
Coordinaten eines Punktes desselben bezüglich der neuen
Coordinatenaxen sind, auf
153) 1 - a + bl +
Da alles, was früher allgemein bewiesen wurde, auch von
den neuen Coordinatenaxen gelten muss, so ist, wenn x1, y1, %x
die Coordinaten irgend eines Massentheilchens m des Körpers
bezüglich der neuen Coordinatenaxen sind
a, = m (y + %), bl = m (xi + 2 ), - W (i + y2),
Em yi =1 = mX1%1- = mXy == 0.
Die letzten drei Summen müssen ja nach 152) für jedes
Coordinatensystem gleich den Coefficienten von u)^, D und X
in der Gleichung des Trägheitsellipsoides sein, welche für
unser gegenwärtiges Coordinatensystem verschwinden.
Boltzmann, Mechanik I. 13