Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

192 V. ~ 58. Trägheitsellipsoid. [G1. 150-152.
Setzt man daher
l50){ - a= em (y + 2), b = n (2+%2), c = n (x2+y2),
d=- nzyx, e=>,mxz, f=Zmxz',
so erhält man also für das Trägheitsmoment bezüglich der
Axe e den Werth:
151) K- m r2 =a 2+ba 2+c y —2d y —2 e c-2facc.
Die Kenntniss der sechs Constanten 150), von denen a, b, e
offenbar die Trägheitsmomente desselben Körpers bezüglich
der drei Coordinatenaxen sind, genügt also, um das Trägheitsmoment bezüglich jeder beliebigen durch 0 gezogenen
Axe zu berechnen.
Man kann sich von der durch Formel 151) ausgedrückten
Abhängigkeit der Grösse des Trägheitsmomentes von der
Lage der betreffenden, durch O gehenden Axe ein anschauliches Bild machen, wenn man sich durch O alle möglichen
Axen gezogen denkt und auf jeder von O aus eine Länge
aufträgt, welche genau gleich dem Trägheitsmomente des
Körpers bezüglich dieser Axe ist. (Den Reductionsfactor
wollen wir, die Dimensionen nicht beachtend, gleich Eins
setzen.) Die O gegenüberliegenden Endpunkte aller dieser
Geraden würden dann eine Fläche bilden, die uns ein anschauliches Bild von der Abhängigkeit der Grösse des
Trägheitsmomentes von der Richtung der Axe gäbe. Die
Anschaulichkeit wird nicht wesentlich geringer werden, wenn
wir auf jede Axe das Quadrat oder den Logarithmus oder
sonst eine einfache Function des betreffenden Trägheitsmomentes auftrügen. Wir wollen, da dann die betreffende
Fläche besonders einfach ausfällt, die reciproke Quadratwurzel aus dem Trägheitsmomente auftragen. Wir tragen
also auf die Gerade ~ von O aus ein Stück 0 P1 = r auf,
dessen Länge 1 //K sei. Bezeichnen wir mit g = rv, t) = rfi,
= ry die Coordinaten des Punktes P1, so folgt, wenn wir
für K seinen Werth 1/r2 substituiren, aus 151):
152) 1 - a 2+ bt2+ ca2- 2 d -- 2e^ -2 ft.
Wenn wir durch O nach allen möglichen Richtungen
Gerade ziehen und auf jeder von 0 aus eine Strecke auf