Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

G1.149.] V. ~ 58. Trägheitsellipsoid. 191
züglich der letzteren Axe und e' ihre Entfernung vom
Schwerpunkte des Körpers, so ist:
K'= L + Ma'2,
daher:
K = K + M(a'2 - a2).
Aus der letzten Formel kann das Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen Axe berechnet werden, wenn das
bezüglich einer beliebigen anderen, ihr parallelen, die
Distanz beider Axen vom Schwerpunkte des Körpers und
die Gesammtmasse des Körpers gegeben sind.
~ 58. Das Trägheitsellipsoid.
Wir bezeichnen nun mit 0 einen beliebigen Punkt im
Innern oder ausserhalb des festen Körpers, ziehen durch
denselben Axen nach allen möglichen Richtungen im Raume
und stellen uns die Aufgabe, die Relation zu finden, welche
zwischen den Trägheitsmomenten desselben Körpers bezüglich dieser verschiedenen Axen besteht.
Wir machen den Punkt 0 zum Anfangspunkte eines
vorläufig noch ganz willkürlichen Coordinatensystems und
ziehen durch O eine willkürliche Gerade (, deren Richtungscosinus bezüglich dieses Coordinatensystems wir mit a, f, 7
bezeichnen. Ksei das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich
der Geraden (3. Ferner sei m ein beliebiges Massentheilchen
des Körpers, r dessen Entfernung von der Geraden (, R die
Länge der vom Coordinatenursprunge nach der Masse m
gezogenen Geraden, X, y, v die Richtungscosinus der letzteren
Geraden und e der Winkel, den sie mit der Geraden (M
einschliesst. Endlich seien x = RK, y = R g und x = R v
die Coordinaten des Massentheilchens m. Dann ist
= R2 sin2 = R2 [1 - (c + t + ~ v)2] =
= R2 [a2 (2 ) + 2 + ) y2( + + ( + ) + ( + )
-2 t n — 2 a / t v - 2 y3 L ~v] =
= 2 (y2 + %2) + 2 (2 + %2) + (+ y2) -
- 2 a xy- 2 ayx - 2 iyy%.