Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

190 V. ~ 57. Parallele Axen. [G1. 148a. 149.
Satz über das Trägheitsmoment bezüglich
paralleler Axen.
Heisst K das Trägheitsmoment irgend eines Körpers
bezüglich einer beliebigen Axe, L das bezüglich einer
parallelen, durch den Schwerpunkt gehenden Axe, welcher
von der ersten Axe den Abstand a haben soll, und ist r die
Entfernung irgend eines Massentheilchens m von der ersten,
( die von der zweiten Axe, so ist gemäss der Definition des
Trägheitsmomentes
K' mr2, L -= nQ2
Die Werthe dieser Grössen beziehen sich auf keiif Coordinatensystem. Sie sind daher unabhängig von der Lage
eines Coordinatensystems, welches wir jetzt erst einführen
wollen. Wir wählen den Schwerpunkt als Coordinatenursprung, die von ihm auf die erste Axe gefällte Senkrechte
als Abscissenaxe und die der ersten Axe parallele, durch
den Schwerpunkt gehende Axe als z-Axe; ferner bezeichnen
wir die Coordinaten des Massenpunktes m mit x, y, x.
Dann ist: 2 2
=2 = X2+
r2 = (X - -)2 + y2 -= _ + 22 _ 2 o x,
daher:
148a) nM r2 -= Jme2 + o2M- 2 oqmx.
M ist die gesammte Masse des Körpers. Da nun die
Abscissenaxe durch den Schwerpunkt geht, so ist dessen
Abscisse also auch ~ mx = 0. Ferner ist in Gleichung 148a)
der Ausdruck links das Trägheitsmoment bezüglich der ersten,
das erste Glied rechts das bezüglich der zweiten, parallel
durch den Schwerpunkt gehenden Axe. Es ist also
149) K=L + Mo2.
Dieser Ausdruck erlaubt das Trägheitsmoment bezüglich
einer beliebigen Axe zu berechnen, wenn das bezüglich einer
parallelen, durch den Schwerpunkt gehenden, die gesammte
Masse des Körpers und die Entfernung des Schwerpunktes
von der ersten Axe gegeben sind.
Sei noch eine andere, der ersten Axe parallele Axe
gegeben, sei K' das Trägheitsmoment desselben Körpers be