Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

164 V. ~ 48. Unendlich kleine Drehungen. [G1. 132.
welche die Componenten darstellen, durch dieselbe Construction gefunden wird wie die Resultirende aus zwei
gegebenen Kräften.') Es ist dann auch gleichgültig, welche
der beiden zusammensetzenden Drehungen früher und welche
nachher erfolgt, während dies bei endlichen Drehungen fir
die Lage der resultirenden Drehungsaxe nicht gleichgültig
ist. Bei endlichen Drehungen ist ferner nur bei gegebener
Anfangsposition die Endposition, welche der Körper in Folge
1) Man führt für sehr kleine Drehungen diesen Beweis einfacher
so. In Fig. 15 soll A Br 0 B2 ein Parallelogramm sein. Ferner seien
CD, CE, B G und B1, senkrecht auf A Bi, AB9, A C und AB2 resp.
Es sollen nun die drei Vectoren AB,, AB2, B A der Fig. 15 drei unendlich kleine Drehungen eines beliebigen festen Körpers um die betreffenden Axen im Sinne der den Scheibehen beigesetzten Pfeile darstellen.
Tl- =. A B1, %w2 = 1f. A B2, WQ = r. A C seien die entsprechenden
Drehungswinkel. Der Punkt A des
festen Körpers erfährt in Folge aller
<z9< drei Drehungen keine Verschiebung.
Der Punkt C erfährt in Folge der
EXE n e r^ ersten Drehung die unendlich kleine
Verschiebung w,. CD 1=. AB,. CD
C2- ~, Öhinter die Ebene der Zeichnung, in
Ft < / Folge der zweiten Drehung die Verschiebung w. CE =. - B. C E
4B _z/ D vor die Ebene der Zeichnung, beide
senkrecht zu dieser Ebene. Da, wie
Fig. 15. man leicht beweist, diese beiden
Grössen gleich sind, so erfährt er in
Folge der beiden Drehungen zusammen -keine Verschiebung, also dieselbe, die er durch die Drehung A C allein erfahren würde. Der Punkt B,
endlich erfährt durch die erste Drehung keine Verschiebung, durch
die zweite die Verschiebung w. B, F = 1. A B2. B, F, in Folge der
dritten die Verschiebung w,. B, G = 1. A C. B, G, beide senkrecht
zur Zeichnungsebene vor dieselbe. Aus der Gleichheit der beiden
Dreiecke A B2 B und A CB?, welche beide halb so gross als das
Parallelogramm A B, C B sind, folgt die Gleichheit dieser beiden
Verschiebungen, da der Flächeninhalt des ersten Dreiecks gleich
AB2. B F, der des zweiten gleich AC. B G ist. Es erfahren daher
alle drei Punkte A, C und B, und daher auch der ganze Körper in
Folge der Drehung A C dieselbe Lagenänderung wie in Folge der beiden
Drehungen A B, und A B zusammen. Der letztere Schluss würde
hinfällig, wenn die drei Punkte A, B1, B2 in dieselbe Gerade fielen.
Doch überzeugt man sich leicht, dass der Lehrsatz auch dann richtig
ist, da sich dann die Drehungen einfach addiren oder subtrahiren.