Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

154 IV. ~ 43. Beliebige Bedingungen. [Gl. 131.
Ist das System nicht holonom, haben also einige der
Bedingungsgleichungen die Form 78), so ändert sich hieran
nichts, als dass an Stelle der partiellen Ableitungen der betreffenden Functionen cp die Grössen e,,... n treten.
Hiermit sind die Bewegungsgleichungen in dem allgemeinsten Falle, wo ein System beliebiger materieller Punkte
beliebigen holonomen oder nicht holonomen Bedingungen
unterworfen ist, gefunden, sobald dieselben durch lauter
Gleichungen ausgedrückt werden können, also darunter keine
durch eine Ungleichung dargestellt wird.
Wenn sich aus den Bedingungen 78) a der Coordinatendifferentiale bestimmen lassen, so können immer auch aus
den Gleichungen 131) 3 n - a der Beschleunigungen gefunden
werden. Wenn der Fall, dass durch die Bedingungen 78)
nicht a der Coordinatendifferentiale bestimmt sind, für ein
endliches Werthegebiet der Variabeln eintritt, so sind nicht
alle Bedingungsgleichungen voneinander verschieden.l) Diese
müssen also auf weniger reducirt werden. Für einzelne singuläre Werthe dagegen kann dieser Fall allerdings eintreten,
z. B. wenn zwischen den Coordinaten eines einzigen materiellen Punktes eine einzige Gleichung f (x, y, X, t)= 0 besteht und alle partiellen Differentialquotienten des 9p nach
den Coordinaten verschwinden oder wenn zwischen denselben Coordinaten zwei Gleichungen g (x, y, z, t) = 0 und,p (y, y,, t) = 0 bestehen und für gewisse Werthe von x, y, z
und.t die beiden durch diese Gleichungen dargestellten
Flächen dieselbe Tangentialebene haben. Dann können
aus dem Princip der virtuellen Verschiebungen aber mehr
als 3 n - a Beschleunigungen bestimmbar sein. Alle diese
Fälle, sowie die, dass einzelne der Coefficienten ~, v7, C der
Gleichungen 78) unendlich oder unbestimmt werden oder die
1) Die bekannte analytische Bedingung dafür, dass von den
Gleichungen (pi = 02... (po = 0 nicht alle voneinander unabhängig
sind, ist ja, dass diejenigen Determinanten der Ausdrücke 130), welche
die Coefficienten der Beschleunigungen in einer der Gleichungen 131)
darstellen, sämmtlich verschwinden. Dann reducirt sich in der That
eine der letzteren Gleichungen identisch auf Null und ist zur Bestimmung der Beschleunigungen ungeeignet.