Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

142 IV. ~ 39. Singuläre Fälle. [Gl. 113.
den Coordinaten verschwinden oder der betreffende Punkt
der Fläche sonst ein singulärer ist. Wenn das Bewegliche
nur in einzelnen Zeitmomenten einzelne derartige singuläre
Punkte durchläuft, so kann die Bewegung daselbst mittelst
folgender Regeln meist eindeutig bestimmt werden. Wenn
eine Bahn möglich ist, für welche die Geschwindigkeiten
sich nicht sprungweise ändern, so geschieht die Bewegung
in dieser Bahn; wenn es zwei oder mehrere solche Bahnen
giebt, in derjenigen, für welche die Beschleunigung am
wenigsten von der durch die äusseren Kräfte erzeugten abweicht. Falls sich aber alle möglichen Bahnen knicken
oder mehrere mögliche Bahnen osculiren oder das Bewegliche während einer endlichen Zeit lauter singuläre Punkte
durchläuft, kann die Bewegung mathematisch unbestimmt
werden, was aber, wie wir sahen, ohne praktische Bedeutung ist, da solche Bedingungen durch die von uns angenommenen Vorrichtungen nie mathematisch exact erzeugt
werden können.
Für den Fall des Gleichgewichtes an einem solchen
singulären Punkte A, wo alle drei partiellen Ableitungen
von P verschwinden, liefern uns die Gleichungen 112), falls
nicht X unendlich wird, X= Y Z-= 0. In der That reducirt sich dann p (x + ca, y + j9, X + y) auf
o +2 8a2m I 2-p + 2 a2
13) x2 2 y2 - 2 8%2
\ +p Yy + 2 Y + cg _ -.
aya% ' axa öx üy
Wenn sich dies nicht wieder identisch auf Null oder auf das
Quadrat einer linearen Function von a, fl, / reducirt, welche
in dieser Formel beliebige sehr kleine Coordinatenzuwächse
bedeuten, so hat die Fläche F in der unmittelbaren Umgebung des Punktes A die Gestalt einer Kegelfläche, deren
Spitze in A ist, oder zweier sich in A schneidender Ebenen,
denn für jeden Punkt der Fläche muss
T (x + a, y + f, y)z +)= 0
sein. Das Bewegliche kann also in der That nur im Gleichgewichte sein, wenn keine Kraft darauf wirkt. Ist aber