Vorlesungen ueber die Principe der Mechnik. Von Ludwig Boltzmann.

112 III. ~ 31. Der Flächensatz. [G1. 76.
nach Formel 76) das gesammte Flächenmoment des Systems
bezüglich der Axe L gleich A, bezüglich der beliebigen
durch 0 gehenden Axe G gleich der Projection der in der
Richtung von L aufgetragenen Geraden i auf die Richtung G
und zwar positiv oder negativ, je nachdem die Projection
auf die positive oder negative Seite der Geraden G fällt.
Das gesammte Flächenmoment ist also bezüglich der Axe L
grösser als bezüglich jeder anderen durch den Coordinatenursprung 0 gezogenen Axe (Axe des grossten Flächenmomentes bezüglich des Pn _toQ).
Bezüglich jeder durch 0 senkrecht zu L gezogenen
Geraden aber ist das gesammte Flächenmoment Null.
Man beweist leicht, dass das gesammte Flächenmoment
eines beliebigen Systems bezüglich einer beliebigen Axe gleich
ist dem Momente bezüglich einer parallelen durch den Schwerpunkt des Systems gehenden Axe, vermehrt um das Flächenmoment, welches die gesammte Masse des Systems bezüglich
der ersteren Axe hätte, wenn sie sich im Schwerpunkte des
Systems befände und mit der Geschwindigkeit desselben in
der Bewegungsrichtung desselben bewegte.
Ebenso leicht sieht man, dass sich ganz in analoger
Weise aus der geometrischen Darstellung der Kräftemomente
durch Dreiecksflächen analoge Sätze von den Momenten aller
Kräfte, die von aussen auf ein beliebiges System wirken, beweisen lassen. Seien:
h=n h=n
D = (Y yh - h), E - (h - Xh h)
h=l h=l
h=n
1} h, (Xh PJh Yh Xh)
h=l
die Momente bezüglich der Coordinatenaxen, so ist das
Moment derselben Kräfte bezüglich einer beliebigen, durch
den Coordinatenursprung 0 gezogenen gerichteten Geraden G
D cos (G, x) + E cos (G, y) + F cos (G, ) = H cos (G, H),
wobei H eine von 0 aus gezogene Gerade von der Länge
+ VD2 + E2 + F2 ist, welche mit den Coordinatenaxen
Winkel bildet, deren Cosinus D/H, E/H, F/H sind. Das