Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 6. August 1914 gewidmet von Freunden und Schülern. Mit dem Bildnis von H. A. Schwarz und 53 Figuren im Text.

64 K. Hensel:
sein, wenn s, die p-adische Ziffersumme von n bedeutet; d. h. jene
Reihe ist stets und nur dann konvergent, wenn
(6) > p
ist.
Ist diese Konvergenzbedingung für die Exponentialreihe (5) erfiillt,
so stellt diese eine r-adische Einseinheit
ec= l+
dar, in welcher auch c genau durch p' teilbar ist.
In der Tat, ist die Zahl c genau durch p7' teilbar, wo y
1 +-
ist, also fiir ein positives J gleich -- esetzt werden kann so
ist in der Reihe
C C
das (m + 1)-te Glied durch diejenige Potenz von p genau teilbar, deren
Exponent
1 + d A~- se n 6d + fsS,
p-1 p —1 p-1
ist; diese Reihe konvergiert für ein positives 6 unbedingt, da für
unbegrenzt wachsendes m diese Ordnungszahl positiv unendlich wird.
Ferner ist
+ 2! )11E3 m!
Cd = l+C (+. + +.+!?+..) = l+c~,
wo die Reihe E in der Klammer eine Einseinheit ist. Jedes Glied
Cml
derselben - enthält nämlich p in der Potenz:
m!
(7) + (s )
p-1
und dieser Exponent ist immer positiv außer für m = 1. Also ist.
stets:
ec = 1 +1
eine Einseinheit. in welcher c -- cE sich von c nur um eine Einseinheit unterscheidet, also dieselbe Ordnungszahl und dasselbe Anfangsglied wie c besitzt.
Ist umgekehrt 1 + c irgend eine Einseinheit, in welcher c genau

durch p? 1 teilbar und >- 0 ist, so gibt es eine einzige Zahl c