Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 6. August 1914 gewidmet von Freunden und Schülern. Mit dem Bildnis von H. A. Schwarz und 53 Figuren im Text.

Uber den Beweis
eines Satzes aus der Theorie der analytischen
Funktionen mehrerer Veränderlichen.
Von
F. Hartogs in München.
In meiner im 62. Bande der ~Mathematischen Annalen" veröffentlichten Arbeit "Zur Theorie der analytischen Funktionen
mehrerer unabhängiger Veränderlichen, insbesondere
über die Darstellung derselben durch Reihen, welche
nach Potenzen einer Veränderlichen fortschreiten" habe
ich den Nachweis geführt, daß eine Funktion mehrerer unabhängiger
komplexer Veränderlichen x, x2,..., x., welche in einem gewissen
Gebiete eindeutig erklärt und daselbst in bezug auf jede einzelne Variable regulär ist, in diesem Gebiete auch als Funktion der sämtlichen n Veränderlichen x, x2,..., x aufgefaßt regulär sein muß, d. h. in der Umgebung jeder inneren Stelle
x1 = a, x2 =- a2..., xi an des Gebietes durch eine nach positiven, ganzzahligen Potenzen von x, - a, x2 - a..., x - aß, fortschreitende, absolut konvergierende Reihe darstellbar sein muß. Das
wichtigste Hilfsmittel für den Nachweis hiervon bildete der folgende
Satz (a. a. 0., ~ 2):
~Die Potenzreihe
00 —
(1) S(x,y) = 1 fv(x)yV
deren Koeffizienten f,(x) fiir alle x des Bereiches T
eindeutig und regulär seien, möge für y - y, im Bereiche T durchweg konvergieren. Gibt es alsdann ir