Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 6. August 1914 gewidmet von Freunden und Schülern. Mit dem Bildnis von H. A. Schwarz und 53 Figuren im Text.

30 C. Caratheodory:
Stückes der reellen v-Achse zu einer geschlossenen Kurve ergänzen
kann. Diese geschlossene Kurve würde den Punkt v = 0 umkreisen
und ganz in G' liegen, was unmöglich ist, weil G' einfach zusammen
hängend sein soll. Führt man also eine Möbiussche Transformation aus,
welche die Punkte 0, 1, oo der o -Ebene in die Punkte -1, 0, +1
einer z-Ebene überführt, so geht G" in ein Gebiet G, über, das ganz
im Inneren des Einheitskreises liegt.
Um die Folge der ibrigen Gebiete G G,... zu erhalten genügt
es eine Methode anzugeben, um mit Hülfe von bekannten Funktionen
von Gn zu Gn+ zu gelangen. Wir denken uns Gn in der u- Ebene
ausgebreitet, und bezeichnen wie im ~ 3 mit hl den Abstand des Anfangspunkts der Koordinaten von der Begrenzung von Gn.
Wir betrachten wie im ~ 31 meiner oben zitierten Arbeit eine
zweiblättrige Riemannsche Fläche, die im Punkte p = r2e einen
Windungspunkt besitzt und deren Rand aus dein doppelt zu durchlaufendem Kreise I1 = 1 besteht. Die Abbildungsfunktion i (z)
dieser Fläche auf den Kreis I z 1, für welche i (0) = 0 und 0'(0)
reell und positiv ist, lautet:
z- qe
(24) q-e
2r
Um die in der Einleitung ewähnte Koebesche Methode anz
Um die in der Einleitung erwähnte Koebesche Methode anzuwenden, lege man den Punkt p in einen Punkt der Begrenzung von
G", der den Abstand hi vom Anfangspunkt der Koordinaten besitzt,
und bezeichne mit G^+ das durch (24) gelieferte Bild von GQ in der
z-Ebene. Wir wollen die Zahl h,1+ abschätzen'): dazu bemerken wir,
daß, wenn z einen Kreis z -= r beschreibt, das Maximum von + (z)
gleich r( +) ist (vgl. ~ 4). Ist also
(+ q) <,2
l+qr -
oder
r 2+ q ( - r2) _-r2 0
so wird das Bild u des Punktes z im Inneren des Kreises 1ul <h i
1) Bei dieser Abschätzung benutze ich im Wesentlichen eine Mitteilung des
h-errn Plemelj.