Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 6. August 1914 gewidmet von Freunden und Schülern. Mit dem Bildnis von H. A. Schwarz und 53 Figuren im Text.

Die allgemeine Theorie der Körper und der Flundarnentalsatz der Algebra. 425
effizienten von ( (x) 'g(x) zu 9. Da der Grad von y (x). (x) nicht
durch 4 teilbar ist, so muß unter den irreduziblen Faktoren, die
i (x).(x) innerhalb Si besitzt, auch einer sein, dessen Grad nicht
durch 4 teilbar, also nach dem Hilfssatze = 1 oder = 2 ist. Da
aber in k alle Funktionen zweiten Grades reduzibel sind, so hat
y (x).g(x) innerhalb S sicher einen Linearfaktor. Mithin hat von den
beiden Funktionen y(x), / (x) die eine, und also auch die andere in k
eine Nullstelle. Hieraus, und weil y(x) in! irreduzibel sein sollte,
folgt, daß der Grad r gleich 1 ist. In R gibt es also weder nichtlineare irreduzible Funktionen von ungeradem noch solche vom zweiten
Grade. Dann aber ist,k nach dem Hilfssatze algebraisch abgeschlossen.
Beim Beweise des Hilfssatzes wurde angenommen, daß der mit
2 bezeichnete Körper ein inbezug auf 9I primitives Element besitzt.
Diese Annahme trifft zu und wird in bekannter Weise bewiesen,
wenn es sich um Körper von der Charakteristik 0 handelt. Dies
würde genügen, wenn man nur das Ziel im Auge hat, den Fundamentalsatz der Algebra zu beweisen. Um aber weiter zu zeigen,
daß der Hauptsatz in allen Fällen richtig ist, bemerken wir, daß der
Satz von der Existenz primitiver Elemente auch im Fall einer Primzahlcharakteristik gilt, wenn der Körper ein vollkommener ist 1). Aus
den Voraussetzungen des Hauptsatzes folgt nun, daß s und SR vollkommene Körper sind. In einem unvollkommenen Körper von der
Charakteristik p gibt es nämlich irreduzible Funktionen vom Grade
p. Ist nun die Primzahl p ungerade, so folgt aus der über S9 gemachten Voraussetzung, daß Sl (und daher auch ü als algebraische
Erweiterung von S9) vollkommen ist. Ist aber p1 = 2, so ist der
Körper k, in dem es keine irreduzible Funktion zweiten Grades gibt,
vollkommen, und daraus folgt wieder (weil sonst R inbezug auf 9
nicht endlich sein könnte), daß auch S9 vollkommen ist.
Es mag noch gezeigt werden, daß auch der Hilfssatz, der ja nur
Voraussetzungen über einen Körper enthält, unter allen Umständen
richtig ist. Zunächst folgt wieder, daß S9 vollkommen ist, wenn die
Charakteristik eine ungerade Primzahl ist, und dann gelten alle früheren Schlüsse. Es bleibt also nur der Fall zu untersuchen, daß i
ein unvollkommener Körper von der Charakteristik 2 ist. Dann gibt
es aber irreduzible Funktionen zweiten Grades, und es ist also zunächst der erste Teil des Hilfssatzes richtig. Ist ferner /'(x) eine
1) Vgl. hier und für das Folgende A. T. d. K. ~~ 11-14.