Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 6. August 1914 gewidmet von Freunden und Schülern. Mit dem Bildnis von H. A. Schwarz und 53 Figuren im Text.

Elementarer Beweis für den Fundamentalsatz der konformen Abbildungen. 21
auch einen Punkt des Randes bestimmen muß, dessen Abstand vom
Anfangspunkt der Koordinaten ein Minimum ist, wenigstens für den
Existenzbeweis vollständig unerheblich.
3. Im zweiten Kapitel werden wir uns damit beschäftigen, das
Spiegelungsprinzip von Schwarz für Kreise und für analytische Kurven
auf einfachem Wege abzuleiten und die Abbildung des Randes für
stückweise analytische Kurven zu untersuchen. Dies geschieht mit
Hiilfe einer geometrischen Überlegung, die uns erlauben wird eine
große Anzahl von Fällen, für welche man bisher gezwungen war das
Schwarzsehe alternierende Verfahren anzuwenden, durch eine einfache
Anwendung des Spiegelungsprinzips zu ersetzen.
Mit denselben Hülfsmitteln kann man ebenfalls beliebige einfachzusammenhängende, ganz im Endlichen liegende endlichblättrige Riemannsche Flächenstücke oder Stücke einer analytischen krummen
Fläche auf einen Kreis abbilden.
Kapitel I.
Existenzbeweis für die konforme Abbildung des Inneren
eines einfach zusammenhängenden Gebietes.
4. Die meisten der folgenden Überlegungen stützen sich auf
das bekannte Lemma von H. A. Schwarz: Ist für ile< die
analytische Funktion u = f(f) regulär und außerdem
f (z) < R, ist ferner f(O) = 0, so gilt im ganzen Kreise die
Ungleichheit
oder aber es ist
e
wo e eine reelle Zahl bedeutet.
5. Das Schwarzsehe Lemma läßt sich durch elementare Transformationen der zt- oder der z-Ebene auf verschiedene Weisen verallgemeinern; wir werden u. A. von folgendem Satz Gebrauch machen1):
Es sei die Funktion t (t) analytisch und regulär für t 1 und
(0) = 0; ferner sei im Einheitskreise
1) D)ie Formulierung dieses Satzes sowie die Tatsache, daß man hier, ohne sich
um das geometrische Bild zu kümmern, durch einfache Abschätzung die Bedingung (4)
erhäilt, verdanke ich einer brieflichen Mitteilung von Herrn Plemelj.