Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 6. August 1914 gewidmet von Freunden und Schülern. Mit dem Bildnis von H. A. Schwarz und 53 Figuren im Text.

150 Ernst Jacobsthal:
Kroneckerschen Substitution x == u,, y --,... auf einige oder alle
Variabeln x, y, z,...) und genügend großem g stets P primitiv,
während G natürlich ganze Koeffizienten behält; dem n ach bleibt
co bei Anwendung der Kroneckerschen Substitution
ganz2). Hiervon machen wir Gebrauch, um folgenden Satz 3) zu beweisen.
Satz 9: Sei qp(t, t... t,) eine ganze Funktion von t, t1,..., t und zugleich ein ganzes Funktional; seien die Koeffizienten dieser ganzen Funktion irgend welche Funktionale, aber frei von den Variabeln t,, t,..., t, dann sind
diese Koeffizienten ganze Funktionale.
Beweis: Man wende auf die Variabeln t1, t..., tM die Kroneckersche Substitution t1 = t, t2 = tu,... an, dann geht cp in eine
ganze Funktion p(t) von t allein über, die genau dieselben Funktionalkoeffizienten hat wie cp und oi -- (t) bleibt dabei ein ganzes
Funktional, wie wir vorhin bemerkten. Sei
G) =- Cot' + 03 t"- + * * -, Co.,
wobei die Funktionale Dco die Variable t nicht enthalten. Zu jedem
oi existiert eine primitive Funktion Pi, die von t unabhängig ist, so
daß coi P eine ganze Funktion ist. Setzt man dann Po' P' P,. = P,
so enthält diese primitive Funktion P die Variable t nicht und o. P
wird eine ganze Funktion und zugleich ein ganzes Funktional. Es ist
P = t (P 0.) + -l (P C,)+ + P@,.
Da hier die ganzen Funktionen Peoh die Variable t nicht enthalten
und mit verschiedenen Potenzen dieser Variabeln multipliziert werden,
so vereinigen sich nie zwei Glieder, die in verschiedenen der Poi^
auftreten, mit einander, d. h. die Gesamtheit der Zahlkoeffizienten
von Pco stimmt mit den sämtlichen Zahlkoeffizienten aller Pco, überein; kann man daher zeigen, daß Pco lauter ganze algebraische
Zahlkoeffizienten hat, so besitzt auch jedes Pco, solche, d. h. dann
ist gezeigt, daß wirklich jeder der Koeffizienten co, von co ein ganzes
Funktional ist.
1) u kann dabei eine neue oder auch eine bereits vorkommende Variable sein.
2) Falls g genügend groß gewählt wird.
3) Dieser wichtige Satz erscheint bei Weber am Ende der Theorie als Folgerung aus dem Hauptsatz in ~ 159. In meiner oben erwähnten Arbeit im Crelleschen
Journal, Band 140, stellte ich ihn für den Fall m = 1 an die Spitze. Dem damals
mitgeteilten Beweise ist der Beweis von Satz 2 in ~ 1 nachgebildet. Der hier für
Satz 9 mitgeteilte Beweis ist ein anderer.