Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

594 VII. Einflufs von Reibung, Luftwiderstand, Elastizität etc.
Mit Rücksicht auf (8) und (9) und den in Gl. (4) des vierten Paragraphen angegebenen Wert von T/aa können wir schreiben:
adN, an.
(10) dt -N
r O) d = - -N' d A kn
I(l) AA" + )' = Psini e — (n - N cosf&) (N- n cos)
(11) A'" +A '= = Psmin - - ^-Asins
Die Gleichungen (10) bedingen, ähnlich wie beim kräftefreien Kreisel,
eine exponentielle Abnahme der Impulskomponenten nach dem Gesetze:
(12) N= Ne, n=noe;
das Verhältnis beider Komponenten bleibt dabei konstant; denn es ist
N: n = No: no. Indem wir die Werte (12) einsetzen, vereinfacht sich
(11) wie folgt: 2it
(13) Aa + X = Psin e A (n N cos&) (No - cos )
Wir gehen hier wie bei dem früheren Reibungsproblem auf ~Präcessions-ähnliche Bewegungen" aus. Da bei der regulären Präcession
9 =- const. ist, wollen wir jetzt nach solchen Bewegungen fragen, für
die e' und I" klein sind. In erster Näherung setzen wir daher die
linke Seite gleich Null und folgen damit einem Verfahren, welches
als "Methode der langsamen Bewegungen" aufserordentlich viele bewufste oder unbewufste Anwendungen auf allen Gebieten findet. Der
Sinn dieses Verfahrens besteht darin, dafs man eine hinreichend langsame Bewegung näherungsweise als eine Aneinanderreihung von Gleichgewichtslagen auffafst, dals man also von der Trägheit des Systems,
die offenbar um so weniger ins Gewicht fällt, je langsamer die Bewegung ist, absieht. Dies Verfahren liefert in vielen Fällen eine
brauchbare erste Annäherung an den wirklichen Bewegungsverlauf, eine
Annäherung, die wir im vorliegenden Falle durch Berechnung einer
zweiten Näherung kontrollieren werden.
Wir bestimmen also cos a als Funktion von t aus der Gleichung:
22t
( o_ sinA l} e4
(14) C(~-tos ( -"cos si A.) e
Wir setzen einen starken Anfangsimpuls voraus, nehmen also an, dafs
AP/'No klein sei; von derselben Gröfsenordnung ist AP/noNo. Fällt
der Anfangsimpuls überdies nahezu in die Richtung der Figurenaxe,
so wird no/N0 ein echter Bruch, der etwa dem. Cosinus eines Hülfswinkels &O gleichgesetzt werden kann. Wir unterscheiden den Anfang
der Bewegung (t klein) und das Ende derselben (t sehr grofs).
a) t klein. Die rechte Seite von (14) ist wegen AP/noNO klein; auf
der linken Seite mufs daher einer der beiden Faktoren ebenfalls klein sein.