Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

572 VII. Einflufs von Reibung, Luftwiderstand, Elastizität etc..4.= W logtg ( - -)
oder auch
- 2tg ü/2
eZ~W = tg (-' 9- -- 1 -= - tg &/2
oder endlich
1 - ep1
(7) tg e/2 = t
Dies ist die gesuchte Gleichung der Bahnkurve bei positivem P und
positivem Anfangsimpulse. Sie gilt ebenso offenbar bei anderer Wahl
der Vorzeichen von P und n, wenn man nur nötigenfalls den Sinn,
in dem f gerechnet wird, umkehrt.
Um sie verzeichnen zu können, müssen wir sie irgendwie auf die
Zeichenebene projizieren und zwar empfiehlt sich wie früher die
stereographische Projektion. Wir schlagen also um den festen Punkt 0
die Einheitskugel, auf welcher unsere Bahnkurve verläuft, wenn der
sie erzeugende Punkt der Figurenaxe den Abstand 1 von 0 hatte,
und projizieren vom Südpol der Einheitskugel auf die Äquatorebene.
Der Nordpol geht dabei in den Punkt 0 über, während das Bild
irgend eines anderen Punktes der Einheitskugel von 0 den Abstand
r = tg&/2 und das Azimuth p hat. r und 4, sind also gewöhnliche
Polarkoordinaten des stereographischen Bildpunktes, bezogen auf den
Punkt 0 als Anfangspunkt. In diesen Koordinaten geschrieben wird
das Bild der Bahnkurve nach Gl. (7):
1 - e^ U>
(8) r= + e- '
Ihre Gestalt ist die einer Spirale, u. zw. läuft sie in den Punkt 0 als
eine gewöhnliche Archimedische Spirale aus, während sie nach der anderen
Seite hin sich dem Einheitskreise asymptotisch nähert.
Um dieses einzusehen, beachte man, dafs vermöge der Wahl der
Integrationskonstanten in Gl. (6) der aufrechten Endlage (& = 0 oder
r = 0) das Azimuth 4 = 0 und dafs allen früheren Lagen der Figurenaxe negative Werte von, entsprechen. Um also das Verhalten der
Bahnkurve in der Nähe des Punktes 0 zu untersuchen, haben wir 4
klein vorauszusetzen und die Exponentialfunktion nach Potenzen von
A 4 zu entwickeln. Es ergiebt sich so
(8') r=-
d. h. die Gleichung einer Archimedischen Spirale.
Um andrerseits die Bahnkurve für weit zurückliegende Zeiten festzustellen, haben wir 4 einen grofsen negativen Wert beizulegen, also