Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

~ 5. Angenäherte formelmäfsige Darstellung des Bewegungsverlaufes. 571
denn im Zähler steht die grofse Impulskomponente n, im Nenner der
kleine Reibungskoeffizient /u und der kleine Radius Q der Auflagefläche. Die Zeitdauer des Aufrichtens wird um so gröfser, je gröser der
Anfangsimpuls war und je kleiner der Reibungskoeffizient Iz sowie der
Kriimmungsradius der Auflagefläche ist.
Der zahlenmäfsige Wert der zum Aufrichten erforderlichen Zeit
ergiebt sich aus (3), wenn wir a = 0 setzen, zu
(4) T-= {tg0o- =2s sin 0}
Die aufrechte Lage wird also in endlicher Zeit erreicht; die Zeit ist bei
sonst gleichen Umständen im wesentlichen der Tangente der Anfangsneigung proportional.
Es erübrigt nur noch, die Bahnkurve, die ein Punkt der Figurenaxe beschreibt, analytisch und zeichnerisch darzustellen. Wir gehen
dabei einerseits von der Gl. (2)
d P
- cos #,
-dt n
andrerseits von der aus (3) folgenden Beziehung aus:
dl - cos2 Ü
(5) dt
dt n 2AP
os3s
Durch Division folgt
dt _ - p 1 2ÄP
und durch Integration
__ _-P__ÜC AP ~,sin2 9\1
(6) = g {logctg ( - )-A + sin 2)
Da die Gestalt der Balinkurve in keiner Weise von dem dem Winkel?p
vorzuschreibenden Anfangswerte 0o abhängt, haben wir von der Hinzufügung einer Integrationskonstanten abgesehen.
Hier wollen wir eine unwesentliche Vernachlässigung gestatten,
durch die sich das folgende vereinfacht. Wir wollen nämlich das
zweite Glied der { } in (6) gegen das erste wegen des Faktors AP/n2
streichen. Ferner wollen wir, um bestimmte Vorzeichen zu haben,
vorübergehend annehmen, dafs der Schwerpunkt über dem Stützpunkte
liegt und dafs der anfängliche Impulsvektor die ungefähre Richtung
der positiven Figurenaxe habe. Dann ist P= + MgE zu setzen und
in (6) das obere Vorzeichen zu wählen. Führen wir noch die schon
früher benutzte Verhältniszahl A = p/E ein, so schreibt sich Gl. (6)
folgendermafsen: