Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

~ 4. Das Aufrichten der Figurenaxe. Graph. Integration der zugehörigen Diffgl. 563
die Leitlinie überschreitet. Wegen der Bedeutung von um= cos 4
brauchen wir nur denjenigen Streifen der u, v-Ebene zu betrachten,
der zwischen den Geraden u = + 1 enthalten ist; dieser wird von der
Leitlinie in vier Gebiete eingeteilt. Das jedem Gebiete zukommende
Vorzeichen von du/ldv2 ist in den Figuren 79 und 80 eingetragen;
man stellt es am einfachsten dadurch fest, dafs man von dem Punkte
u =v = 0 ausgeht, in welchem die rechte Seite von (15) gleich - m2,
die von (16) gleich + m2 wird. Hierdurch ist das fragliche Vorzeichen für jeden Punkt unseres Streifens bestimmt. In den mit +
bezeichneten Gebieten ist die gesuchte Integralkurve, aus der Richtung
der positiven Ordinatenaxe betrachtet, konkav gekrümmt, in den mit -
bezeichneten Gebieten konvex; beim Überschreiten der Leitlinie besitzt sie
jedesmal einen Wendepunkt.
Um von hieraus die Integralkurve wirklich konstruieren zu können,
müssen wir uns zunächst bestimmte Anfangsbedingungen geben. Wir
bezeichnen den anfänglichen Neigungscosinus der Figurenaxe gegen
die Vertikale mit u0 und setzen etwa fest, dafs zu Beginn der Impulsvektor genau in die Richtung der Figurenaxe falle, dafs also der Kreisel
zu Beginn keinen seitlichen Anstofs erhalte. Dann gibt der Anfangswert N, des Eigenimpulses zugleich die Gesamtlänge des Impulsvektors
und es ist die Vertikalkomponente des Impulses n = N0 u. Unsere
Integralkurve beginnt daher in einem Punkte Po, dessen Koordinaten
U0, vo der Gleichung 1 =-oVo genügen, welcher also auf der (in Fig. 79
und 80 gestrichelt eingezeichneten) gleichseitigen Hyperbel liegt. Ferner
ist hierdurch zugleich die Anfangstangente der Integralkurve bestimmt;
wenn nämlich der Impulsvektor die Richtung der Figurenaxe hat, so
fällt auch die augenblickliche Rotationsaxe in die Figurenaxe hinein.
Die Figurenaxe steht also momentan im Raume still und es ist
du du d0
- 0 und daher auch d =0 sowie - 0
dt dN dv
Unsere Integralkurve setzt also im Punkte P2 mit einer horizontalen
Tangente ein.
Von dem weiteren Verlauf der Integralkurve gilt die allgemeine
Bemerkung: dafs sie, auf die Abscissenaxe senkrecht projiziert, diese
überall einfach überdecken mufs. Denn, wie oben festgestellt, nimmt
der Absolutwert von N mit wachsendem t beständig ab, desgleichen
der (notwendig positive) Wert von v = —. Da nun zu jedem Werte
von t nur ein Wert von u gehören kann, so kann auch jedem Werte
von v nur ein Wert von u entsprechen.
Betrachten wir nun z. B. Fig. 79 (P> 0). Der Anfangspunkt Po
liegt in einem Gebiete negativer Krümmung (d. h. einem Gebiete, wo
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