Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

560 VII. Einflufs von Reibung, Luftwiderstand, Elastizität etc.
werden wir versuchen, auch ohne formelmäfsige Integration durch sachgemäfse Diskussion der Differentialgleichung das Wesentliche über den
Verlauf der Integralkurve zu erfahren.
Da die Gestalt der Integralkurve wesentlich von ihrer Krümmung
und diese von dem zweiten Differentialquotienten abhängt, so werden
wir darauf geführt, die rechte Seite von (11) näher zu studieren. Und
zwar werden wir zunächst feststellen, wo die rechte Seite einen Vorzeichenwechsel aufweist. Zu dem Zwecke betrachten wir die Gleichung:
(12) (n -,N) (N - - an) - AP (1 - u). =.
Hier ist es noch bequem, mit dem Quadrat der Impulskonstanten n zu
dividieren und die Abkürzungen
N 4AP
(13) v —N- + m2 A=
einzuführen. Die Gröfse v ist dann, ebenso wie der Neigungscosinus
u, eine reine Zahl. Das Gleiche gilt nach pag. 293 von der Gröfse
~ m2, wobei das positive oder negative Vorzeichen zu wählen sein wird,
je nachdem P positiv oder negativ ist, der Schwerpunkt also über oder
unter dem Stützpunkte liegt. Unsere Gleichung (12) verwandelt sich
so in eine Gleichung zwischen den drei unbenannten Zahlengröfsen u,
v und m2, nämlich in:
(14) (1 - uv) (v - ) = + m (1 u2)2.
Wir deuten u als Ordinate, v als Abscisse in einer, v-Ebene; die
durch (14) dargestellte, in dieser Ebene verlaufende Kurve vierter
Ordnung bezeichnen wir als Leitlinie, da sie der später zu konstruierenden Integralkurve gewissermafsen als Führung dienen wird. Die Integralkurve der Gl. (11) mufs sich, wie wir zeigen werden, um unsere
Leitlinie in unmittelbarer Umgebung derselben herumschlängeln.
Die Gestalt der Leitlinie ist in Fig. 78 dargestellt; und zwar bezieht sich die ausgezogene Linie auf den Fall P> 0, wo in (14) das
positive Zeichen gilt, die punktierte Linie auf den Fall P < 0, in
welchem rb2 mit dem negativen Vorzeichen versehen ist. Wie Gl. (14)
zeigt, entsteht die letztere aus der ersteren, wenn man u, v mit -, - v
vertauscht, wenn man also die erstere Linie um den Anfangspunkt der
u, v-Ebene durch den Winkel von 1800 dreht. Hiernach genügt es,
den Fall P> 0 allein zu betrachten, also in Gl. (14) lediglich das
obere Vorzeichen zu berücksichtigen.
Zur Begründung unserer Figur 78 sei folgendes bemerkt: Konstruiert man die gleichseitige Hyperbel 1 = Uv und die Gerade v =u,
so teilen diese die Ebene in sechs Gebiete; in dreien derselben hat die
linke Seite von (14) positives, in den übrigen negatives Vorzeichen.