Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

~ 3. Gleitende und bohrende Reibung beim Kreisel. 551
Die Gröfse a, welche im vorigen Paragraph als mittlerer Radius der
Berührungsfläche gedeutet wurde, können wir entsprechend der Entstehungsweise unseres Berührungspunktes P aus dem ursprünglichen
Berührungskreise als Radius dieses letzteren ansprechen. Die Gröfse
Q tg a andrerseits bedeutet (vgl. Fig. 75) den Abstand des Berührungspunktes P von dem Durchstofsungspunkte Q der augenblicklichen
Rotationsaxe mit der horizontalen Pfannenoberfläche. Unsere vorstehende Proportion besagt daher, dafs die Arbeit der gleitenden
Reibung kleiner oder gröfser wie die der bohrenden Reibung ist, je
nachdem die augenblickliche Rotationsaxe den Berührungskreis durchsetzt oder nicht. Lassen wir den Berührungskreis nahezu in einen Punkt
zusammenschrumpfen, so folgt, dafs nur bei nahezu vertikaler Lage
der Rotationsaxe die bohrende Reibung neben der gleitenden in Betracht kommt, dafs dagegen bei merklich nicht vertikaler Rotationsaxe
die gleitende Reibung erheblich mehr Arbeit absorbiert und daher erheblich gröfseren Einflufs auf den Bewegungsverlauf hat. Hieraus
leiten wir die Berechtigung ab, im Folgenden die bohrende Reibung im
Allgemeinen gegenüber der gleitenden Reibung zu vernachlässigen (Vernachlässigung II). Da bei den zu betrachtenden Bewegungen die
Figurenaxe nahezu der Rotationsaxe folgt, so wird die genannte Vernachlässigung solange zulässig sein, als die Figurenaxe nicht merklich
vertikal steht.
Wir wollen die Arbeit der gleitenden Reibung sogleich noch auf
eine zweite Weise ausdrücken, nämlich durch die Euler'schen Winkel
Sp, i, 4. Wir lösen zu dem Ende den Rotationsvektor Q in seine
drei Komponenten YS ', ap,' nach der Figurenaxe, der Vertikalen und der Knotenlinie auf. /R
Projizieren wir alsdann den aus den drei i --- /
Seiten ', a'/, ' gebildeten Linienzug auf / F
die Horizontalebene durch 0, so ergiebt sich / /
die Horizontalkomponente des Rotations- CO
vektors. Dieselbe wird nach Fig. 76:
Q sin. a = ' '2 sin2. / /
Nach (4) und (6) ergiebt sich daher, 1-/.
(7) daß =- Q, lR ä+ 2 sin2edt. - - e
-.. +......W
Durch eine kleine formale Umänderung Fig. 76.
können wir diesen Ausdruck als lineare
Funktion der Koordinatenänderungen de, d(p, d* schreiben, wie wir
ihn zum Ansatz der Lagrange'schen Gleichungen brauchen werden.
Wir setzen nämlich (7) so um: