Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

Zusätze und Ergänzungen. 943
hyperbolischer MafsbeBtimmung gehören; bekanntlich, versteht man ja
darunter die Kollineationen, bei denen eine imaginäre (G1. 3) bzw.
reelle (Gl. 3') Fläche zweiter Ordnung unverändert bleibt.
Zu den,parabolischen" Drehungen des R4führt endlich auch der Grenzfall, in dem co2 unendlich wird und zugleich A' B', C, D' von der Ordnung 1/o2 verschwinden, während jetzt x, y, z, s endlich bleiben, und zwar.s =S wird. Man erhält noch eine weitere Deutung dieser Gruppe, wenn
man s (= S) als Zeitkoordinate, dagegen x, y, z bzw. X, Y, Z als Raumkoordinaten auffafst. Fügt man nämlich noch eine willkürliche Verschiebung des Koordinatenanfangspunktes der Raum- und Zeitmessung
zu, so resultiert die schon oben erwähnte oo10 fache Gruppe, zu der
sich die Newton'sche Mechanik invariant verhält, sie bildet in der That
den Grenzfall der Lorentzgruppe bei unendlich grofser Lichtgeschwindigkeit c. Als Untergruppe ist hierin natürlich wieder die Gruppe der
Drehungen im R8s enthalten, für die A', B', ', D' identisch verschwinden, wobei unsere allgemeineren Gleichungen (1) und (4) in die
frühere (13) ausarten.
Die Gleichungen (4), (4'), (1') umfassen auch die vorher behandelten
~elliptischen" Drehungen, nämlich für positive Werte von co2, also reelle
Werte von co, für die die konjugierten Quaternionen Q1t, Q2 zu zwei
beliebigen reellen Quaternionen werden. Ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit kann man also sagen, dafs die charakteristischen Unterfälle:
~C2 = 1 o — 2 =CO20 oder oo
gerade die elliptischen, hyperbolischen, parabolischen Drehungen des BR,
bzw. die allgemeinen linearen Orthogonaltransformationen des R3 bei.entsprechender Mafsbestimmung repräsentieren.
Die Verwendung der Quaternionen zur Darstellung der Drehungen
im n R hat zuerst Cayley bemerkt, unter Beschränkung auf den elliptischen Fall (1). (On the homographic transformation of a surface of
the second order into itself, Philos. magazine VII, 1854, papers, t. II
p. 135, und Recherches ulterieures sur les determinants gauches, Journal
f. Math. t. 50, 1855, papers t. II p. 202.) Die geometrische Deutung hat
Klein hinzugefügt (Zur nicht-euklidischen Geometrie, Math. Annalen 37,
1890). Der allgemeine Ansatz rührt von Clifford her (Preliminary
sketch of biquaternions, Proceedings of the London Math. Society,
Vol. IV, 1873, papers London 1882, p. 181) und ist durch Study
systematisch entwickelt worden (Von den Bewegungen und Umlegungen,.II, Math. Annalen 39, 1891). Wegen der ferneren Litteratur vergleiche
man die Zitate bei Study, Encykl. d. math. Wiss. I, A, 4, insbesondere
Nr. 35 der französischen Ausgabe des Artikels (dort I, 5).