Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

Zusätze und Ergänzungen. 941
Um in diesem Fall reelle Transformationsformeln zu erhalten, mufs
man, wie sich durch nähere Berechnung leicht ergibt, die beiden Quaternionen Q1 und Q2 als "konjugierte" wählen, die so zu definieren sind:
{ Q = (+Ai + Bj + Ck + D) + co(A'i + B ' Ck + D'),
4) Q= (- Ai - Bj - Ck + D) + o(A'i + B'j + C'k - D').
Die Transformationsformeln würden allgemeiner auch dann reell
ausfallen, wenn Q, um einen reellen Faktor von dem in (4) angegebenen
Ausdruck verschieden wäre; alle möglichen Transformationen zerfallen
hiernach in zwei Arten, je nachdem ob dieser Faktor positiv oder
negativ ist. Die der ersten Art bilden für sich eine Gruppe, bei den
letzteren ist charakteristisch, daß aS/3s immer negativ ist; es ist daher
nicht möglich, daß diese zweite Art die identische Substitution oder
unendlich kleine Drehungen enthält. Deshalb wird es zweckmäßig sein,
in der Definition der hyperbolischen Drehungen sich auf die erstere
Gruppe zu beschränken und also bei geeigneter Normierung nur die
Formeln (4) ins Auge zu fassen. Für die unten zu besprechenden
Lorentztransformationen bedeutet dies die naturgemäße Beschränkung,
daß die Zeitskala in allen betrachteten Koordinatensystemen gleichgerichtet sein soll.
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann auch in (4) ein Faktor l
bzw. 1/Ä so gewählt werden, dafs T2 =- T2 wird. Damit auch 2 Q1 und
Q2/l konjugiert sind, mufs jetzt l eine komplexe Gröfse a + cob vom
absoluten Betrag /a2 - G2b2 =- 1 sein. Denken wir uns der Einfachheit halber die Quaternionen Q1 und Q2 schon so normiert, so besteht also die Bedingung
(4') AA' + BB' + CC' + DD' = O.
Jetzt ist es leicht zu sehen, dafs wir mittels der Quaternionenparameter zu einer rationalen Darstellung der Drehungen gelangen.
Um nämlich die Bedingung (2) identisch zu erfüllen, setzen wir statt
(1) die Transformationsgleichung an:
(1') (Xi+ Yj+Zk+S)Q1 xi + yj+ z + )Q
wo aber nun wegen (4')
s ]2 T,12 = = A2 + B2 + C2 + D2 + oC' (A2 + 2 + D'2),
also rational in den Parametern A, A'... wird.
Nach (4') ist nun ferner etwa D' ein rationaler, homogener Ausdruck ersten Grades in den sieben übrigen Parametern, führt man ihn
in die rechte Seite von (1') ein, so wird diese, da sie in den acht
Parametern von Qj und Q' homogen vom Grade Null ist, eine Funktion