Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

940 Zusätze und Ergänzungen.
Wir brauchen hier nur zu fordern, dafs
(2) T T 12 2 1
sein soll, so stellen die linearen Transformationsformeln zwischen
X und x eine orthogonale Transformation des x, y, z, u Raumes dar,
die ja bekanntlich durch die Bedingung
(3) X2 + Y2 +Z2+ U2 = x2 + y2 + u2
definiert ist. Sie ist eine Drehung, denn ihre Determinante ist + 1,
wie man durch Einzelmultiplikation mit Q2 und Q1 leicht nachrechnet. Die Transformationsformeln enthalten zunächst die acht
Koeffizienten der Quaternionen Q1 und Q2 als Parameter, zwischen
denen aber die Bedingung (2) besteht. Da ferner in der G1. (1) nur
das Produkt der Quaternionen Qi und Q2 vorkommt, so bleibt sie unverändert, wenn man Q1 mit einem skalaren Faktor A multipliziert
und Q2 mit dem nämlichen Faktor dividiert, man kann diesen Faktor
z. B. so wählen, dafs,1272 _T 2 r 2 _ 1
wird, und hat dann die Drehung des R4 durch die sechs Parameter der
zwei Einheitsquaternionen l Q, Q,/ in einfachster Weise definiert.
Wesentlich ist, daß sich diese Darstellung unmittelbar in rationaler
Form geben läßt, wie wir unten noch zeigen werden.
Läfst man dagegen die Koeffizienten von Q1 und 'Q2 beliebig, so
enthält das Quaternionenprodukt (1) sieben Parameter; in diesem Falle
führt Gl. (1) auf die "Drehstreckungen des R4". Die Formel (13) ergibt sich hieraus offenbar für die spezielle Bestimmung
Q = T2 Q'-1
und liefert aufser den Transformationsgleichungen (2) von pag. 57 dann
noch die Beziehung U = u.
Wenn wir alle Koeffizienten der Quaternionen Q, Q2, v und V
und also auch A als reelle Gröfsen betrachten, so sind durch Gl. (1)
und (2) die reellen Drehungen im BR dargestellt; wir wollen sie im Anschlufs an eine übliche Ausdrucksweise der projektiven Maßgeometrie
als die,elliptischen" Drehungen bezeichnen. Neben diese stellen wir
eine andere Gruppe von Kollineationen des R4, die "hyperbolischen"
Drehungen, indem wir u =- Gs setzen und s als reell annehmen, wo
3= - 1 (oder allgemeiner die Quadratwurzel aus einer negativen
Gröfse) sein soll. Dann ist die Bedingung erfüllt:
(3') X2 + Y2 + Z2 + ~2S2 = X2 + y2 + z2 + 2s2
die ausdrückt, daß ein reeller Kegel bei der Transformation unverändert
bleibt, was eben die hyperbolischen Drehungen charakterisieren mag.