Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

Zusätze und Ergänzungen. 939
Zu pag. 64, G1. (13). Mittels der G1. (13) hat kurze Zeit vor der
auf pag. 64 zitierten Arbeit von Cayley schon Hamilton die Drehungen um einen Punkt iIm 1R auf Quaternionenmultiplikation zurückgeführt. Proc. Irish. Academy 11. Nov. 1844.
Diese Gleichung, durch die wir eine beliebige Drehstreckung des
x, y, z Raumes um den Anfangspunkt x =y = z 0 in kompendiösester
Form darstellten, ist ein Sonderfall einer allgemeineren Darstellung,
die die Drehungen eines vierdimensionalen Raumes um einen festen
Punkt, oder auch, bei Benutzung homogener Koordinaten, unter anderem die o06 Drehungen und Verschiebungen des gewöhnlichen dreidimensionalen Raumes umfafst. Für diese Transformationsgruppen
liefert die in Rede stehende Verallgemeinerung von Gl. (13) zugleich
eine sehr einfache rationale Darstellung durch 6 Parameter (bzw. 7,
wenn auch Drehstreckungen des RB mit einbegriffen werden). Die allgemeinere Formel hat überdies den Vorteil gröfserer Symmetrie und
Übersichtlichkeit.
Ihre einfache Grundlage ist der mehrfach benutzte Satz, dafs der
Tensor eines Quaternionenproduktes gleich ist dem Produkt aus den
Tensoren seiner Bestandteile, unter dem Tensor einer Quaternion
Q-=-Ai+Bji+ Ck+D
die früher auch, als Streckung bezeichnete Gröfse
verstanden. (Diese von Hamilton eingeführte Bezeichnung (vgl.
pag. 58) hat natürlich nichts mit dem in der mathematischen Physik
heute üblichen Tensorbegriff zu tun.)
Sei nun eine Quaternion gegeben:
v = xi + yj + zk + u,
und eine zweite durch das Quaternionenprodukt definiert:
(1) V ==Xi + Yk + Zj + U = Qv Q
= (Ali +B1j + C]k + Dl)(xi + yj + zk + u)(A2i + Bj + C k- + D2).
Hiernach sind, offenbar die Gröfsen X, Y, Z, U als homogene
lineare Funktionen der Gröfsen x, y, z, u bestimmt, und es best;eht die,
Beziehung
J2 + y2 +Z - UTT2
= (A42 +.B2 + C12 + DB1) (2 + + z2 + )) (A2 + + y22 + +D2)
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