Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

906 IX. Technische Anwendungen,
Im Falle des aufrechten Kreisels, für den wir QIH= qh =P, J j = A
setzen können, geht letztere über in das oft benutzte Kriterium für den
starken Kreisel:
N2 > 4AP.
Das von x2 freie Glied in (4), (- QH) (- qh), ist positiv, als
Produkt zweier negativer Glieder, es würde aber negativ werden, wenn
einer der beiden Freiheitsgrade an sich stabil wäre, also entweder lT
oder h einen negativen Wert hätte. Also nur wenn beide Freiheitsgrade stabil oder beide Freiheitsgrade labil sind, hkann die Bewegung
des Systems vollständig stabil sein. Ebenso wird im allgemeinen Fall
von mehr als zwei nichtcyklischen Freiheitsgraden das letzte Glied der
entsprechenden Gleichung das Produkt der zu den einzelnen Freiheitsgraden gehörigen generalisierten Kräfte, es wird nur dann positiv, wenn
eine gerade Anzahl von labilen Freiheitsgraden vorhanden ist. Hierin
liegt der Beweis des allgemeinen Thomson'schen Satzes.*)
Von besonderem Interesse ist noch der Grenzfall, in dem einer
der beiden Freiheitsgrade, bei uns etwa die Bewegung des Kreiselrahmens, an sich indifferent wäre (h = 0). Sicher ist für den Fall des.
Einschienenwagens eine solche Anordnung ebenfalls auszuschliefsen.
Denn die charakteristische Gleichung (4) hätte in dem Fall immer
zwei oder bei Berücksichtigung der Dämpfung (s. unten G1. (6)) eine+
verschwindende Wurzel. Das zugehörige Integral a = a + bt, wo a
und b Konstanten sind, würde aussagen, dafs der Kreiselrahmen sich
beständig gleichsinnig weiter drehen und sich daher von der Vertikalen
beliebig entfernen könnte. Bei Berücksichtigung der Dämpfung lautet;
das entsprechende Integral = a und besagt, dafs hier der Kreiselrahmen, nachdem ein ursprünglicher Schwingungszustand durch Reibung
aufgezehrt ist, in einer beliebigen,Stellung stehen bleiben würde, z. B.
auch in der wagrechten, in der die Kreiselaxe parallel zur Schienenkante liegt. Offenbar verliert dann aber der Kreisel jede Stabilierungs*) In dieser allgemeinen Form gilt der Satz Übrigens nur für holonome Systeme.
Denn der oben für den Fall von zwei Freiheitsgraden durchgeführte Beweis setztvoraus, dafs man alle Lagen des Systems durch voneinander unabhängige Koordinaten ausgedrückt hat und dafs die Schwingungsgleichungen für diese Lagen —
koordinaten in der Lagrange'schen Form wirklich angesetzt sind, eine Bedingung,.
die im nichtholonomen Fall bekanntlich nicht erfüllbar ist. Das Fahrrad z. B..
könnte auch stabiliert werden, wenn der Schwerpunkt des Vorderrades unterhalb
der Lenkstange läge und also nur ein labiler Freiheitsgrad, nämlich die Neigung
des Rahmens um die Spurlinie:, vorhanden wäre. Doch bleibt natürlich auch im.
nicht holonomen Fall 2 die Mindestzahl der nichtcyklischen Freiheitsgrade, die.
Stabilierung zulassen.