Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

830 IX. Technische Anwendungen.
(weil hier das Produkt der zwei konjugiert reellen Wurzeln
U:2 = (x + iy) (- x + iy) — 1 ist).
Die Kurve I der Fig. 131 giebt den Verlauf der Wurzeln für den
kleinen Wert k= 2. Hier geht für n2 - 0 die zur Nebenschwingung
gehörige Wurzel l von dem Werte + i aus, sie steht auf der Grenze
zwischen Periodizität und Aperiodizität und bewegt sich mit wachsendem n2 auf dem Kreise x2 + y2 = 1. Die zur Hauptschwingung gehörige,, geht vom Punkte ~ i aus (in der Figur ist nur die Wurzel
mit positiv reellem Teil gezeichnet) und bewegt sich auf dem nämlichen
Kreise nach aufwärts. Nach den Gleichungen (26), S. 826 fallen die
beiden Wurzelpaare zusammen, wenn
k2
geworden ist. Für gröfseres n2 wird s und 6 imaginär; dann ist
aus den Gleichungen (27) ersichtlich, dafs keine der 4 Wurzeln
(ausgenommen die Grenze n = oo) rein imaginär sein kann, die
Schwingungen also nicht aperiodisch sein können. Das Gleiche gilt
noch für die Kurve II, k= 3, nur ist hier anfangs die Nebenschwingung aperiodisch, sie wird aber periodisch für n2= 2. Für n2 = 2,25
fallen die beiden Paare zusammen und bleiben dann beide periodisch.
Für die Kurve III ist k = 4 gewählt. Hier wächst die Dämpfung
s bis zu 2 an, und die Hauptschwingung erreicht damit gerade die
Grenze zwischen Periodizität und Aperiodizität mit dem Wert n2 - 4.
Für denselben Wert aber fallen hier Haupt- und Nebenschwingung zusammen und werden dann mit wachsendem n2 wieder periodisch, so
dafs sich die Frequenzen schliefslich den Werten 0 und oo nähern.
Wir fassen zusammen:
Für kleine Werte der Dämpfung k, in unserem Falle v2 -= 1 für k < 4,
ist es nicht möglich, den Impuls so zu wählen, dafs auch die Hauptschwingung aperiodisch wird. Für alle Werte k > 4 dagegen durchläuft
die Wurzel g den ganzen Kreisquadranten, und die Schwingung wird
aperiodisch, ehe die Paare zusammengefallen sind, und zwar nach (27),
wenn 16 - (k - yc2 -4 n2)2 0 wird. Dem entspricht der positive
Wert n2 = 2k - 4. Für alle Impulsstärken n2 > k2/4 aber werden
beide Schwingungen wieder periodisch, und es ist daher sicher zwecklos, den Impuls über diese Grenze zu steigern.
Um auch für die Punkte des Kreisquadranten die Abhängigkeit
der Dämpfung vom Impuls n2 zu zeigen, haben wir links von der
imaginären Achse die Kurven
-* = f(n)