Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

824 IX. Technische Anwendungen.
Wie wir endlich noch bemerken, läfst sich aus den Gleichungen (22)
leicht zeigen, dafs die Gröfsen s und 6 nie negativ werden, die beiden
Schwingungen also nicht zeitlich anwachsen können, und daher die
Methode der kleinen Schwingungen wirklich anwendbar bleibt. Denn
es ist für keinen endlichen Wert von n2 möglich, dafs p oder f zu 0
bezw. oo werden, da die Gleichung (10) nur für unendlich grofses n2
verschwindende oder unendlich grofse Wurzeln haben kann. s und 6
waren nun für kleines n2 positiv, dann folgt aber aus den Gleichungen (22)
wegen des negativen Wertes von A, dafs s sowohl als 6 immer anwachsen würden, wenn sie einmal sehr klein geworden wären. Daher
ist es für keinen endlichen positiven Wert von n2 möglich, dafs eine
der Gröfsen s oder 6 verschwindet und weiterhin negativ wird. Bei
diesem Beweise ist stillschweigend vorausgesetzt, dafs A nicht verschwindet; dieser Ausnahmefall, von dem bereits soeben die Rede war,
tritt für v2 = 1 ein und wird in Nr. 6 besonders behandelt.
5. Allgemeiner Verlauf der Wurzelbewegung bei v2 t 1.
Nach diesen vorbereitenden Bemerkungen ist der Verlauf der Kurven
(Fig. 129) leicht zu diskutieren. Dabei ist zu beachten, dafs in dieser
und den folgenden Figuren die Abscisse x nicht die Gröfse p bezw. X
selbst vorstellt, sondern die Frequenzen Vp2 -(8), bezw. / a2 - (Z )
die aber ähnlichen Verlauf wie p bezw. X selbst haben.*) Die Gleichungen (22) legen es nahe, zu unterscheiden, ob zu Anfang f - p 0
war, d. i. nach (25):
Sei zunächst
V2 >
v > 1,
also die Kreiselpendelung rascher als die ursprüngliche Schiffsschwingung.
Aus den Formeln (22) folgt dann, dafs, solange A negativ ist, p'
negativ, x' positiv wird, p nimmt also von dem Wert 1 aus ab,
x von dem Anfangswerte v2>1 aus zu, so dafs nicht p=z werden
kann. Also kann die Determinante A nicht verschwinden und daher
nimmt p beständig weiter ab, X beständig zu. Dann mufs schliefslich
(nach Fig. 129) für grofses n2 die Hauptschwingung in die ungedämpfte
Schwingung mit der Frequenz 0, die Nebenschwingung in die gedämpfte
mit der Frequenz oo übergehen. Der Fall v2 > 1 entspricht also, wie
*) Entsprechend dem in der Praxis vorliegenden Fall ist in den Figuren 130
und 131 die freie Kreiselpendelung als aperiodisch gedämpft angenommen, die
beiden Wurzeln XT liegen dann bei kleinem n2 auf der imaginären Axe. Nur in
Fig. 129 sind der gröfseren Deutlichkeit halber auch periodische Fälle der Nebenschwingung gezeichnet.