Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

~ 10. Anhang. Der auf der Horizontalebene spielende Kreisel. 627
Wir setzen voraus, dafs nicht nur, entsprechend der Bedingung des
Falles 1), V gröfser als v, sondern dafs V grofs gegen v sei. Dies
besagt nach (3) und (4)
N2 r
Mg() EC grofs gegen i
Bei hinreichend grofsem Eigenimpuls und hinreichend schräger Figurenaxe wird diese Bedingung in der That erfüllt sein.
Zugleich mit V steht unter der Annahme (5) auch der Reibungswiderstand W annähernd senkrecht auf der Figurenaxe; dem Sinne
nach ist er in unserer Figur nach hinten gerichtet. Mit der Gröfse
und Richtung von W hängt aber die Schwerpunktsbewegung auf's
engste zusammen. Da nämlich W die einzige horizontale Kraft ist,
die auf den Kreisel wirkt, so ist die Horizontalbeschleunigung des
Schwerpunkts zu W parallel und gleich W/M = -tg (s. Gl. (1)). Beschreibt, wie wir annahmen, der Schwerpunkt nahezu einen Kreis mit
annähernd konstanter Geschwindigkeit, so ist die Schwerpunktsbeschleunigung nahezu zentripetal, also senkrecht gegen die Kreisperipherie nach innen gerichtet. Da diese Richtung andrerseits genau
parallel zur Richtung von W und daher nahezu senkrecht zur Richtung
der Figurenaxe steht, so folgt, dafs die Projektion der Figurenaxe auf
die tragende Horizontalebene den Schwerpunktskreis nahezu tangieren
mufs. Und zwar entspricht von den beiden Tangenten, die in Fig. 93
von der augenblicklichen Lage von P an den Schwerpunktskreis gelegt werden können, offenbar die ausgezogene vordere Tangente den
Verhältnissen des in Rede stehenden Falles 1). Der Schwerpunkt bleibt
also bei der Durchlaufung seines Kreises immer etwas hinter dem Stützpunkte zurück; die Figurenaxe schneidet nicht die Vertikale durch den
Mittelpunkt unserer Kreise, sondern dreht sich in windschiefer Lage
um dieselbe herum. Auch die Gröfse des Schwerpunktskreises folgt
nun leicht aus der Gröfse der Schwerpunktsbeschleunigung. Letztere
ist einerseits bekanntlich gleich rp'2, andrerseits wie oben bemerkt,
gleich /lg. Man hat also
(6) - g N
Der Schwerpunktskreis ist um so gröfser, je gröfser der Eigenimpuls
und je kleiner das Schweremoment P = MgE ist; aufserdem nimmt
seine Gröfse natürlich mit abnehmendem Reibungskoeffizienten i ab
und reduziert sich bei verschwindender Reibung auf Null, in Ubereinstimmung mit früheren Ergebnissen. Auch die Gröfse des vom Stützpunkt beschriebenen konzentrischen Kreises ist hiernach bekannt. Man
hat nämlich nach Fig. 93:
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