Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

~ 10. Anhang. Der auf der Horizontalebene spielende Kreisel. 625
nicht durch algebraische Zusammensetzung, weil, wie wir sehen werden,
die Richtungen von v und V notwendig gegen einander geneigt sind.
Man wird nun drei Fälle unterscheiden können, nämlich
1) V>v, 2) 3) <v.
Fall 1) wird bei rascher Rotation des Kreisels der normale sein;
je gröfser nämlich die Rotation, um so gröfser wird die der Rotation
entsprechende Geschwindigkeit V des Stützpunktes und um so kleiner
wird, nach den Resultaten bei der reibungsfreien Bewegung zu urteilen,
die Präcessionsgeschwindigkeit und daher auch die Geschwindigkeit v
werden. Bei hinreichend starker Rotation wird man sogar v gegen V
vernachlässigen und die Richtung des Gleitens mit der Richtung von V
identifizieren können.
Fall 3) wird sich einstellen, wenn im Verlaufe der Bewegung die
Eigenrotation durch die Reibung bereits beträchtlich geschwächt ist.
Dann ist die Geschwindigkeit v für die Bestimmung der Gleitrichtung
mafsgebend.
Im Grenzfalle 2) findet, wenn wir die Gleichung V= v nicht nur
als eine Bedingung für die Gröfse, sondern auch für die Richtung der
(in entgegengesetztem Sinne zu zählenden) Geschwindigkeiten v und V
auffassen, überhaupt kein Gleiten statt. Bei entgegengesetzter Gleichheit von v und V ist nämlich der augenblickliche Stützpunkt in relativer Ruhe zur Unterlage; es rollt dann der augenblickliche Stützkreis
ohne Gleiten auf der Unterlage ab. Ob aber im Verlauf der Bewegung
dieser Grenzfall sich überhaupt vorübergehend realisiert, ist zweifelhaft und hängt von den Anfangsbedingungen ab.
Wir untersuchen zunächst den normalen Fall 1) des Näheren.
In Fig. 93 haben wir diejenigen Kreise verzeichnet, welche der
Schwerpunkt S und der Punkt O nach Voraussetzung bei der präcessionsähnlichen Bewegung annähernd beschreiben. Beide Kreise sind durch
senkrechte Projektion in die den Kreisel tragende Horizontalebene verlegt. Die Rotation finde annähernd um die Figurenaxe im Sinne des
Uhrzeigers statt. Die Projektion des im Schwerpunkte konstruierten
Drehimpulses auf diese Axe sei dementsprechend N > 0. Dann findet
auch die Präcession des Stützpunktes von oben gesehen im Uhrzeigersinne statt. Letzteres können wir aus unseren früheren Ergebnissen
bei Vernachlässigung der Reibung entnehmen. Die Winkelgeschwindigkeit p' der Knotenlinie, welche zugleich die Winkelgeschwindigkeit
bedeutet, mit der der Stützpunkt um die (bei unserer früheren Betrachtung feste) Vertikale durch den Schwerpunkt rotiert, hatte (s. z. B.
Gl. (31) von pag. 526) im Mittel den Wert
Klein-Sommerfeld, Kreiselbewegung. 40