Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

~ 9. Elastizität der Unterlage. 615
wegen des Gliedes 0'2 auf der rechten Seite nicht.linear. Die mathematische Behandlung nicht linearer Gleichungen stöfst aber auf grofse
Schwierigkeiten; es ist daher wünschenswert nachzuweisen, dafs wir
jenes Glied näherungsweise streichen können.
Betrachten wir zunächst unsere Gleichungen (12) und (14) unter
der Annahme, dafs die Unterlage völlig unnachgiebig sei (k =oo,
Z = Z' = Z" 0, kZ unbestimmt). Dann geht G1. (14) über in
+ No=
d i t o
und integriert sich a durch -, so dafs ie Periode der
Schwankungen der Kreiselaxe gleich 2n v, also bei grofsem N klein
wird. (Man vgl. hierzu Kapitel V ~ 2, Gl. (15), wo dieselbe Periode
gefunden wurde.) Gl. (12) wird in diesem Falle nichtssagend, da wie
bemerkt kZ unbestimmt wird; in der That ist jene Gleichung alsdann
bei der Bestimmung der Bewegung entbehrlich.
Annähernd wird nun auch bei etwas nachgiebiger Unterlage die
Periode und die Form der Schwankung der Kreiselaxe dieselbe sein,
wie bei völlig starrer. Jedenfalls werden wir, um die Gröfsenordnung
von 0 2 und 0" in Gl. (12) abzuschätzen, den Wert von 0 bei starrer
Unterlage zu Grunde legen können. Dann erkennen wir: Wir dürfen
nicht behaupten, dafs wenn 0 klein ist, d. h. wenn die Schwingungsamplituden a und b kleine Zahlen sind, auch 0' oder gar 0" klein
seien, weil bei der Differentiation der grofse Faktor N/A bezw. Nl2/A2
hinzutritt. Wohl aber dürfen wir behaupten, dafs 0'2 klein ist gegen
0", da sich die Sinus- oder Cosinusbestandteile beider im Mittel verhalten wie a2: a oder wie b2: b. Während also das Glied 0'2 absolut
genommen grofs sein kann, so ist es doch relativ gegen das Glied mit
0" belanglos. Wir schliefsen daraus, dafs sein Einflufs auf den Verlauf der Bewegung klein ist und halten uns dementsprechend für berechtigt, dasselbe in G1. (12) zu streichen.
Dem Folgenden dürfen wir jetzt die zwei linearen Differentialgleichungen
(M + m) Z" + hZ' + kZ = MEsin o9"
(15) |r N2 ME sino,,
zu Grunde legen. Ihre Diskussion geschieht nach bekannten Regeln,
die bei der Methode der kleinen Schwingungen (vgl. Kap. V, ~ 8)
ständig angewandt werden.