Über die Theorie des Kreisels. Mit 143 Figuren im Text.

604 VII. Einflufs von Reibung, Luftwiderstand, Elastizität etc.
Wir sind jetzt in der Lage, die Dauer einer freien Präcession des
Kreisels sowohl für ein starres, wie für ein durch die Rotation deformierbares Material zu berechnen. In ersterer Hinsicht könnten wir
uns auf Rechnungen aus Kap. III, ~ 2 berufen. Nach G1. (6') von
pag. 151 ist die äquatoriale Komponente p + iq des Drehungsvektors
bei der regulären Präcession durch einen Exponentialausdruck gegeben,
in dessen Exponenten it mit dem Faktor
C- A
A ro
multipliziert erscheint. Dieser Faktor mufs daher gleich 2zc/T sein,
wenn T die Präcessionsdauer bezeichnet. Bedeutet andrerseits v die
Dauer einer Rotation des Kreisels, so ist der Rotationsvektor Q gleich
2 C/ und seine Komponente nach der Figurenaxe, die in der angezogenen Gleichung mit ro bezeichnet ist, gleich cos -2z/r, unter a
den in Fig. 90 so bezeichneten Winkel verstanden. Mithin hat man
21 _ C —A 2 -1: A tcosäd
oder, da man cos hinreichend genau gleich 1 setzen darf:
(8) T'Lehrreicher und für das folgende nützlicher ist indessen der
folgende Weg zur Ableitung der gleichen Formel. Nach unserer Auffassung der Eulerschen Differentialgleichungen sagen diese aus, dafs
der Impulsvektor im Raum bei der kräftefreien Bewegung nach Richtung
und Gröfse ungeändert bleibt, dafs dagegen relativ gegen den Kreisel
die Fortschreitungsgeschwindigkeit des Impuls-Endpunktes nach Richtung
und Gröfse gleich dem vektoriellen Produkt von Impuls- und Drehungsvektor (der sog. ~resultierenden zentrifugalen Drehkraft") ist. Bedeutet
also J den Vektor des Impulses, IJI seine Länge, dJ seine augenblickliche Änderung relativ gegen den Kreisel und bildet derselbe mit
der Figurenaxe den Winkel y (vgl. Fig. 90), so hat man
(9) d-t (J, ) =-JI J sin (8-);
2 ist die Länge des Rotationsvektors R und kann wie oben gleich
2 c/v gesetzt werden. Der Impuls-Endpunkt beschreibt nun im Kreisel
während eines Präcessionsumlaufes einen Kreis vom Radius IJI sin y
um die Figurenaxe. Hierzu gebraucht er vermöge des angegebenen
Wertes seiner Fortschreitungsgeschwindigkeit die Zeit
T 2 I=J} siny sin y
1 JIQ[ sin (8 - y) sin (d - y)