Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

L'ARITHMAITIQUE DES ENTIERS D'UN CORPS. 83
pour rappeler les entiers qui servent a le definir. En n'explicitant
pas ces entiers, on peut encore definir un ideal d'un corps,
un ensemble d'entiers complexes de ce corps, tels que:
i~ Cet ensemble contienne le produit de l'un quelconque de
ses termes par tout entier du corps;
20 II contienne la somme et la difference de deux quelconques
de ses termes.
Un ideal est dit principal et designe par [L], conformement
a la notation precedente, s'il se confond avec lensemble des multiples de o; o n'est alors defini qu'a un produit pres par une
unite. Dans le cas ou co est lui-mneme une unite, lideal qu'on
pent designer par [i] est confondu avec l'ensemble des entiers
du corps; pour qn'il en soil ainsi, il suffit de verifier qu'il contient
une unite.
Si a chaque entier f de l'ideal nous faisons correspondre le
point ( 3, 32)..., 3,) on obtient, d'apres la deuxieme condition,
un sous-module & de C. Ce module est de dimension n, car
d'apres la premiere propriete, le tableau
Tx [1,, 2,...,* n, ],
de determinant non nul, est forme de points de,%; done L est
type, sa base est de la forme P x T (P a termes rationnels, defini
a une equivalence pres), et tous ses points sont donnes par la
formule
I pI * * * z, II = 1 X.i 2 x. 11 x PT (x entiers rationnels),
un ideal peut done etre considere coinme clefini au plus par
n nombres. Nous dirons que P est une base relative de I'ideal,
c'est en effet une base du module lorsque l'on considere des
coordonnees relatives a T; on peut toujours supposer que P a
ete mis sous la forme reduite d'Hermite.
Ce n'est pas un tableau quelconque, et il n'est pas sans interet
d'en donner une propriete caracteristique: pocur qut'un tableau
de C, donc de la forme P x T, soit une base d'un ideal de K,
il faut et il suffit que tous les tableaux
(PT) [ai,;,..., a*,](PT)-' (a entier de K)